Тема 2. Элементы линейной алгебры

Системы линейных уравнений

Дана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. (2.1)

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Систему уравнений (2.1) можно представить в матричном виде , где−основная матрица системы, состоящая из коэффициентов уравнений при неизвестных; − матрица-столбец неизвестных;− матрица-столбец свободных членов системы.

Исходную систему уравнений (2.1) можно представить в матричном виде , где−основная матрица системы, состоящая из коэффициентов уравнений при неизвестных, причём матрицаквадратная (содержит одинаковое число строк и столбцов);− матрица-столбец неизвестных;− матрица-столбец свободных членов системы:_.

Если матрица невырожденная, т.е. определитель матрицы отличен от нуля , то исходная система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формуле, (2.2) где− обратная матрица к матрице.

Определитель третьего порядка матрицы вычисляется по формуле

Обратная матрица находится по формуле . (2.3)

Алгебраические дополнения элементовматрицынаходятся по формуле, где–минор элемента матрицы, представляющий собой определитель, полученный из основноговычёркиванием- й строки и- го столбца.

Пример 5

Решить систему уравнений матричным методом

Решение: Матричный вид данной системы уравнений:

Вычислим определитель матрицы А. Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная, для неё существует обратная матрицаA^-1.

Вычислим алгебраические дополнения для каждого элементаосновной матрицы.

Таким образом, имеем следующую обратную матрицу:

Тогда матричное решение исходной системы имеет вид:

Проверка:

Подставим найденные числа вместо переменных в исходную систему уравнений

Получили верные числовые равенства, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: .

Метод Крамера

Рассмотрим решение системы (2.1) с помощью формул Крамера

Дополнительные определители получаются из основного Δ, если в нём заменить соответственно первый, второй, …n-й столбец на столбец свободных членов системы.

Таким образом, для решения системы (2.1) с учетом уже введённых обозначений, дополнительные определители будут иметь вид:

_{Пример 6 Решить систему уранений, рассмотренную в примере 5, по правилу Крамера.}

Тема 3. Теория пределов

Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки.

Определение. Число называется пределом функциив точке(или при), если для любого, сколь угодно малого положительного числанайдётся такое положительное число, зависящее от, что для всех, удовлетворяющих условию,выполняется неравенство.

Этот предел функции обозначается: или ƒ(х)→А при х→х₀.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах: если существуют и, то

1) ; (3.1)

2) ; (3.2)

3) ; (3.3)

4) (при). (3.4)

Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при х→х₀, или при х→∞, если её предел равен нулю

Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке х₀ (или при х→х₀), если имеет место одно из равенств: .

Теорема (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций) : если ƒ(х) ─ бесконечно малая функция при х→х₀, то ─ бесконечно большая функция при х→х₀, и наоборот.

Первый замечательный предел . (3.5)

Второй замечательный предел . (3.6)

Пример 7 Найти предел

Решение: Поскольку функция непрерывна в точке , искомый предел равен значению функции в этой точке. Используя теоремы о действиях над пределами функций, получим

Пример 8 Найти предел

Решение: При числительстремится к пяти (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной). Очевидно, что их отношение есть величина бесконечно большая, т. е.

В рассмотренных примерах предел находился сразу, чаще при вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределённостями: _{, , , .}

Пример 9 Найти предел

Решение: При числитель и знаменатель дроби равны нулю, имеем неопределенность вида. Чтобы раскрыть неопределённость вида_, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить их на общий множитель .

Пример 10 Найти предел

Решение: Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение.

.

Пример 11 .

Решение: Теорему о пределе частного здесь применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. В данном случае имеет место неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х в высшей степени (в данном случае на х² ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:

Пример 12

Найти предел

Решение: Приведём дроби к общему знаменателю:

Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределённость вида . Раскрывая эту неопределённость, разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень , т. е. на :

Пример 13 Найти предел

Решение: При , а показатель степенистремится к, следовательно, имеем неопределённость вида.

Представим дробь в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины:.

Применим второй замечательный предел (3.6).