Тема 1. Элементы аналитической геометрии

Прямая линия на плоскости

Каждая прямая на плоскости определяется линейным уравне­нием первой степени с двумя неизвестными.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид

_, (1.1) где – угловой коэффициент прямой, угол, между прямой и положительным направлением оси

Уравнение прямой, проходящей через две точки и, имеет вид . (1.2)

Если , то уравнение прямой (1.1) имеет вид;

если , то.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении . (1.3)

Две прямые изаданные уравнениями с угловыми коэффициентамии

параллельны, если (1.4)

перпендикулярны, если . (1.5)

Пример 1

Даны вершины треугольника ABC , (рисунок 1).

Найти:

1. уравнение стороны AB;

2. уравнение высоты CD, проведённой из вершины C к стороне AB;

3. уравнение медианы BM, проведённой из вершины B к стороне AC.

Решение:

Рисунок 1 ─ Треугольник ABC

1) Для нахождения уравнения стороны AB воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки (1.2). Подставим в эту формулу координаты точек А и В, получим уравнение пря­мой АВ:

(АВ).

2) Высота CD перпендикулярна стороне треугольника AB. Найдём угловой коэффициент прямой АВ, разрешим полученное уравнение относительно :

Чтобы найти уравнение высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых (1.5), т.к. CDAB, то угловой коэффициент будет равен,

Искомая высота проходит через точку С(–3; –1). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом (1.3) :

(СD).

3) По определению медиана BM делит точкой М противолежащую сторону СA пополам. Най­дём координаты точки М :

Чтобы записать уравнение медианы ВM, воспользуемся форму­лой (1.2).

(ВМ).

Кривые второго порядка

Эллипс

Каноническое уравнение эллипса , (1.6)

центр эллипса лежит в точке O^/(α,β), – большая полуось,– малая полуосьэллипса.

Пример 2

Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию

Решение: Выделим полные квадраты при и

Разделим уравнение на 100 .

Получили каноническое уравнение эллипса (1.6), точка центр данного эллипса, полуоси ,

Для построения кривой, в системе координат построим точкуи проведёмоси параллельно осям координат. Отложим от точки отрезки ,в направлениях, парал­лельных и, оси эллипса,. В получившийся прямоугольник впишем эллипс (рисунок 2).

Рисунок 2 ─ График функции

Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным осям, имеет вид (1.7) или (1.8).

(1.7)

(1.8)

где – координаты центра гиперболы,– действительная полуось,– мнимая полуось гиперболы.

Пример 3

Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.

Решение: Выделим полные квадраты при и :

Разделим обе части уравнения на 225 , чтобы получить 1 в правой части .

Получили каноническое уравнение гиперболы (1.7) с центром в точке , и полуосями,

В системе координат построим точкуи проведёмоси ипараллельно осям координат. Построим основной прямоугольник гиперболы в системе координат, откладывая от точки отрезки , _, ,.Диагонали прямоугольника будут являться асимптотами гиперболы. Вершины гиперболы – точки и (рисунок 3).

Рисунок 3 ─ График функции

Дробно-линейная функция

_{Каноническое уравнение дробно-линейной функции}

_{(1. 10)}

в новой системе координат , с началом в точкезадаёт _{равностороннюю гиперболу, асимптотами которой являются оси координат.} ─ центр гиперболы.

Если , то ветви гиперболы расположены в чётных квадрантах, а вершинами являются точки А(и.

Если , то ветви гиперболы расположены в нечётных квадрантах, а вершины ─ точкии.

Пример 4

Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.

Решение: Приведём уравнение к каноническому виду.

Приведём полученное уравнение к виду (1.10). Выделим целую часть:

Это уравнение гиперболы с центром в точке , осииявляются асимптотами,ветви гиперболы расположены во втором и четвертом квадрантах, вершинами в новой системе координат являются точкии(рисунок 4).

Найдём точки пересечения функции с осями и .

При , получаем

Если , то

Следовательно, гипербола пересекает ось в точке и ось в точке .

Рисунок 4 ─ График функции