Глава 2. Уравнения лапласа и пуассона

В уравнения Максвелла входят плотность заряда ρ и плотность тока проводимости , а также другие функциями плотности, например, плотности мощностиp, плотности энергии ω и т. д. Эти функции определяются предельными выражениями, которые имеют вполне ясный смысл при плавно меняющихся, как говорят, гладких (дифференцируемых) распределениях заряда, тока и иных физических величин. Но как, например, охарактеризовать при помощи функции ρ идеальный точечный заряд, который занимает исчезающе малый объем, а, следовательно, должен иметь бесконечную плотность в точке? На этот и подобные вопросы, касающиеся дискретных распределений, дает ответ аппарат дельта-функции Дирака. Этот аппарат будет использован, в частности, при интегрировании уравнения Пуассона.

Рассмотрение граничных задач для уравнения Лапласа понадобится для правильного суждения о содержании важных классов задач электростатики.

Наконец, излагаемый в данной главе метод разделения переменных применяется далее к самым различным задачам теории электромагнетизма.

8. Дельта-функция Дирака

8.1. Первоначальное понятие. Рассмотрим функцию F(x), изображаемую в виде «импульса»:

F(х) = 0 при х < - Δх и при х > Δх, причём

(8.1)

Введём новую функцию δ(х) как предел

(8.2)

В частности, при задании F(x) в виде прямоугольного импульса она равна:

(8.3)

Функция δ (х), как видно, равна нулю везде кроме исчезающе малой окрестности точки х = 0, где она неограниченна. С точки зрения классического математического анализа, рассмотрение δ(х) затруднительно, следовало бы сказать, что предел (8.2), (8.3) не существует.

Тем не менее, произведенные рассуждения наводят на мысль о существовании особого математического объекта, называемого дельта-функцией Дирака (по имени известного физика). В качестве определения дельта-функции δ(х) обычно рассматривают следующее интегральное соотношение

(8.4)

где f(x) - обычная функция. При этом для всякого ограниченного отрезка

(8.5)

В частности, при f(x) = 1

(8.4а)

(8.5а)

Вернёмся теперь к формулам (8.1) - (8.3), чтобы убедиться, что интуитивный образ, к которому они приводят, соответствует определению дельта-функции. Согласно (8.2), (8.3) δ(х) = 0 везде кроме точки х = 0 (соответственновезде кроме точки при сохранении интеграла (8.1). Это отвечает соотношениям (8.4 а), (8.5 а). Что касается формул (8.4) и (8.5), то всю область интегрирования, когда она включает точку х΄ можно заменить отрезком ΔL, покрывающим х' и настолько малым, что функцию f(x) на нем можно считать постоянной и равной f(x'). Поэтому

.

8.2. Обобщение и примеры. Всё cказанное нетрудно обобщить, например, на функцию трёх переменных. Взяв вместо отрезка L пространственную область V, будем обозначать задаваемые нам функции как /(г) (§ 2, п. 1). Аналогично (8.1) можно рассматривать функцию F(r) такую, что

при

и в том же смысле, что и в (8.2), говорить о предельном случае

Переходя к определению дельта-функции, вместо (8.4) и (8.5) будем иметь:

(8.6)

(8.7)

Подобным же образом рассматривается и двумерный случай. Достаточно лишь вместо V взять S; тогда r лежит в плоскости, на которой лежит область S и круг радиуса ρ.

Разумеется, в трехмерном случае (при использовании декартовых координат) справедливо равенство:

, (8.8)

и аналогичное равенство можно записать для двумерного случая.

В качество примера применения дельта-функции охарактеризуем плотность заряда в пространстве при наличии точечного зарядаq, расположенного в точке М.Легко видеть, что

(8.9)

так как при этом

(8.10)

Возьмём, далее, некоторую поверхность S (рис. 8.2), пусть на ней заданы координатные функции q_1, q₂ (криволинейные координаты, см. п. 6.1) и нормаль , которую мы представляем как прямолинейную координату с началом наS (n = 0 на S); если S несёт поверхностный заряд с плотностью , его можно рассматривать как распределённый в объёме с плотностью

(8.11)

Действительно,

(точки а и -а лежат на прямой n по разные стороны S). Рассмотрим поверхностный ток I, распределенный на Р сплотностью .Вместо можно ввести плотность тока в объёме

(8.12)

где подразумевается, что точки находятся на какой-либо поверхностиS, пересекающей Р по линии l, a n - координатная линия в S.

В самом деле, при этом пересекающий поверхностный ток описывается как ток в объёме с плотностью, проходящей черезS:

( - орт нормали к l, касательный Р).

Наконец, возьмём случай тока I, протекающего, вдоль, линии L. Для такого линейного тока

(8.13)

где дельта-функция двумерная; соответственно этому точки -и (последняя лежит на L) при интегрировании остаются на какой-либо поверхности, пересекаемой током. Вычисляя ток I, имеем:

8.3. Представление дельта-функции δ (r). Взяв функцию

убедимся; что везде, за исключением точки r = 0, она равна нулю. Действительно, на основании (6.21) .

Исследуем теперь объёмный интеграл от по области V, содержащей начало координат r = 0; при помощи теоремы Остроградского-Гаусса преобразуем его к поверхностному:

Пусть V - сферический объём с центром при r = 0; тогда S есть соответствующая сферическая поверхность радиуса ρ, накоторой функция grad постоянна и согласно (6.18) или(2.12а) равна:

Таким образом, для любого сферического (а, следовательно, и иного) объема V, содержащего начало координат,

Подведём итог. Функция , равная нулю везде, кроме начала координат, при интегрировании по любой области, включающей начало, даёт - 4π. Поэтому, будучи умножена на -1/4π, эта функция удовлетворяет определению (8.6), (8.7). Это значит, что найдена дельта-функция

(8.14)

Очевидно также, что

(8.14а)

Полученный результат ниже будет использован при интегрировании уравнения Пуассона.