
- •Основные элементарные функции
- •Замечательные пределы
- •Уравнение касательной и нормали к графику функции
- •Основные правила дифференцирования
- •Производные основных функций
- •Гиперболические функции
- •Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
- •Первообразная. Неопределенный интеграл.
- •1. Интегрирование подведением под знак дифференциала.
- •3. Интегрирование по частям.
- •Подставляя в формулу, получаем
- •Операции над комплексными числами
Подставляя в формулу, получаем
=
=.
Пример.Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболойи прямой
.
Решение.
В этом случае удобно представить уравнения линий в виде
,
.
Найдем точки пересечения
.
Корни
уравнения
.
Находим площадь фигуры
=.
Числовые ряды
Определение.
Бесконечная сумма вида
,
где (1)
-
общий член ряда (произвольное число,
как положительное так и отрицательное),
называется числовым рядом.
Определение. Ряд (1) сходится , если сходится последовательность частичных сумм ряда
,
то есть
,
где
-конечное
число, называемое суммой сходящегося
ряда, а
-
частичная сумма ряда (1).
Утверждение.
Из сходимости ряда (1) вытекает, что
.
Отсюда получаем, что
если
,
то ряд (1) расходится.
Рассмотрим
ряд в виде геометрической прогрессии
:
, где
- некоторое число. При
или
г.п. сходится и сумма ее равна
, при
,
расходится.
Пример.
Найти
.
Решение.
.
Здесь
.
Пример.
Найти сумму числового ряда
.
Решение.
Знакоположительные числовые ряды
Определение.
Числовой ряд
называется
знакоположительным, если все
.
Рассмотрим
знакоположительный ряд вида
.
(1)
Ряд
сходится
, если
и
расходится, если
.
Примеры
сходящихся рядов:
,
.
Примеры
расходящихся рядов:
.
Примечание:
По отношению к ряду
при
заключение
о его поведении
не
изменяется, то есть, он сходится, если
и расходится, если
.
Рассмотрим
ряд вида
, (2)
где
-
многочлен степениmотносительно переменного натуральногоnс действительными
коэффициентами
,
-
многочлен степени kотносительно переменного натуральногоncдействительными коэффициентами
При
этом числа
неотрицательные
целые числа, не равные одновременно
нулю.
Например
-
многочлен степени 3,
-
многочлен степени 4.
Утверждение.
Если
,
(3)
то
ряд (2) сходится, в противном случае, то
есть когда
,
(4)
то ряд (2) расходится.
Пример.
Ряд
расходится, так как
и выполнено условие (4).
Пример.
Ряд
сходится, так как
и выполнено условие (3).
Пример.
Ряд
сходится, так как
и выполнено условие (3).
Пример.
расходится, так как
и выполнено условие (4).
Пример.
расходится, так как
и выполнено условие (4).
Пример.
Найти
.
Решение.
Признак
сравнения. Пусть даны два знакоположитедьных
ряда A)В)
.
Если
,
где
,
то ряды А и В сходятся или расходятся
одновременно.
Пример. Указать сходящиеся числовые ряды.
1)
2)
3)
4)
Решение.
Для сравнения возьмем ряд
.
Ясно, что в (1) надо взять
,
в (2) надо взять
,
в (3) надо взять
,
в (4) надо взять
.
Это делается из следующих соображений:
В (1) отбрасывается слагаемое
,
в (2) отбрасывается -4, в (3) отбрасывается
в (4) отбрасывается
.
После этого остаются ряды
,
,
,
или после преобразований
,
,
,
.
Отсюда ряд (1) сходится так как,
.
Ряд (2) расходится так,как
.
Ряд
(3) расходится так,как
.
Ряд (4) сходится так,как
.
С
использованием признака сравнения
заключение о характере сходимости ряда
проводится
следующим образом: в многочленах
и
оставим старшие члены, то есть слагаемые
и
.
В результате получим ряд
,
где
-
постоянная. Отсюда при
или то же самое
,
ряд сходится
и
при
или
,
ряд расходится.
Знакочередующиеся ряды
Ряд
вида
, где
(5) называется знакочередующимся рядом.
Признак
Лейбница. Если члены ряда (5) по модулю
монотонно убывают с ростом
,
то есть
,
начиная с некоторогоnи
, то ряд (5) сходится . Если нарушено хотя
бы одно из указанных условий, то ряд
расходится.
Пример. Даны числовые ряды:
А)
В)
Выяснить характер сходимости этих рядов. Ответ. А сходится, В расходится.
Решение.
Для ряда А модулем общего члена ряда
является
. Ясно, что он монотонно уменьшается ,
начиная сn=1,
.
Условия признака Лейбница выполнены,
следовательно ряд А сходится.
Для
ряда В модулем общего члена ряда является
.
Очевидно, что второе условие признака
Лейбница не выполнено, так как
,
следовательно ряд В расходится.
Определение.
Знакочередующийся ряд сходится абсолютно,
если сходится ряд составленный из
абсолютных значений его членов, то есть
если сходится ряд
.
Утверждение. Если знакочередующийся ряд сходится абсолютно, то он просто сходится, то есть справедлива схема:
-сходится
-
сходится
Определение.
Если ряд
сходится,
а ряд
расходится
( расходится абсолютно), то говорят, что
ряд
сходится
условно.
Пример. Укажите правильное утверждение относительно сходимости знакочередующихся рядов:
А)
и В)
.
Ответ. А расходится, В сходится условно.
Обоснование.
,
то есть нарушено второе условие признака
Лейбница, следовательно ряд А расходится.
Относительно ряда В). Так как коэффициенты
убывают монотонно с ростом
и
,
то есть выполнены оба условия признака
Лейбница, ряд В) сходится. Но ряд
расходится,
следовательно ряд В) сходится условно.
Степенные ряды
Ряд
вида
называется
степенным
рядом. Здесь
-
коэффициенты ряда (действительные
числа),
-
центр ряда.
Существует
положительное число
такое , что степенной ряд сходится при
всех
из интервала
и расходится при всех
, лежащих вне этого интервала.
Такое
называется радиусом сходимости степенного
ряда, а интервал
-
интервалом или областью сходимости.
Радиус сходимости можно найти по формулам
или
Пример.
Найти область сходимости степенного
ряда
и
исследовать сходимость на границе этой
области.
Решение.
Здесь
.
Радиус сходимости
.
Центр ряда
,
интервал или область сходимости
.
На левом конце при
получим
числовой
ряд
который
расходится, так как
.
На правом конце при
получим числовой ряд
,
который расходится, так как
.
Таким образом областью сходимости
степенного ряда является интервал
.
Элементы операционного исчисления
Определение.
Преобразованием Лапласа функции
называется
интеграл
и обозначается
.
Таким образом,
,
где
-
действительная переменная,
-
комплексная переменная. При этом функция
называется
оригиналом,
-изображением.
Условия,
которым должен удовлетворять оригинал
:
1)
при
2)
Не иметь знаменатель, который обращается
в ноль. Например, функция
не может быть оригиналом.
3)
С возрастанием
модуль функции
не
может расти быстрее некоторой показательной
функции, то есть,
,
где
.
Например,
функция
не
может быть оригиналом, так как при любых
числах
,
данная функция растет быстрее чем
функция
,
то есть нарушается условие (3).
Свойство линейности изображения
Обозначим
.Пусть
оригиналы
и
имеют
изображения
и
.
Тогда
.
Таким образом, изображением суммы
является
.
Пример
1. Найти изображение функции
.
Решение.
Имеем
.
Таким образом, изображением функции
является
так, как изображением 1 согласно таблице
является
,
а изображением
является
.
Пример 2. Найти изображение функции 3.
Решение.
Имеем
.
Таким образом, изображением функции
является
.
Пример
3. Какой оригинал соответствует изображению
.
Решение.
Согласно (4) таблицы изображений имеем
при
оригинал
вида
Пример
4. Найти изображение решения задачи
Коши:
Решение.
Имеем
,
где
или
.
Отсюда находим
:
,
.
Ответ:
Пример5. Записать в изображениях решение задачи Коши вида
Решение. Имеем
Далее
,
.
Отсюда
Ответ
Таблица изображений
Nпп |
Оригинал
|
Изображение
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12
|
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
Комплексный анализ.
Формы комплексного числа
Наименование формы |
Формула |
Геометрическое представление |
1.Алгебраическая |
z=a+ib |
|
2.Тригонометрическая |
z=r(cos | |
3.Показательная |
z=rei | |
Обозначение: i – мнимая единица, гдеi2=-1 z – комплексное число a,b– действительные числа a– действительная часть ib– мнимая часть r– модуль,
|
Соотношения: |