Первообразная. Неопределенный интеграл.
Определение. ФункцияF(х) называется первообразной для функцииf(х) на промежутке Х, если в любой точке х этого промежутка выполняется равенствоF′(х)= ƒ(х)
Примеры.
Функция F(х)=tg х является первообразной для функции
ƒ(х)=
на интервале (-
,+
,)
х ≠
+π
n,
так как
2)
Функция F(х) =
является первообразной для функции
на интервале
(-1,1), так как
3)
Функция F(х)=lnx является
первообразной для функции ƒ(х)=
на интервале (0,+
),
так как (lnх)َ =
Определение.
Совокупность всех первообразных для
функцииf(х) называется
неопределенным интегралом от функцииf(х) на Х и обозначается
.
Здесь
знак
называется
знаком интеграла, выражениеf(x)dx– подынтегральным выражением, аf(x)
– подынтегральной функцией. ЕслиF(х)
– одна из первообразных дляf(х)
на Х, то
,
где С- произвольная постоянная.
Примеры.
1)
,
так как функцияF(х)=tgx– одна из первообразных для
на Х .
2)
на интервале (
),
так как функцияF(x)=lnxодна из первообразных
для ƒ
на этом интервале.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1.
,2.
,
3.
,
4.
Таблица интегралов.
1.
,
в частности,
1.1
,
1.2
;
2.
, 3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
, 8.
,
9.
, 10.
,
11
,
12.
,
13.
,
14.
,
15.
,
16.
.
Примеры.
1)
=
Здесь
.
Проверка.
2.
2)
.
Проверка.
3)
,
используется табличный интеграл , здесь
,
4)
.
Проверка.
.
5)
,
используется табличный интеграл, здесьa2 =10, тогдаa=
.
Основные методы интегрирования.
1. Интегрирование подведением под знак дифференциала.
Для использования метода запишем таблицу дифференциалов, которая легко получается из таблицы производных и таблицы интегралов. В первом случае применяем формулы для дифференциалов функции, записанных в обратном порядке, во втором – путем взятия знака дифференциала от обеих частей равенства. Таблица дифференциалов.
1.
8.
2.
9.
3.
10.
4.
11
5.
12.
6.
13.
7.
Примечание.
Формулы
для дифференциалов функции
не меняются от того является лиxнезависимой переменной или есть некоторая
функцияu(t)
другой независимой переменнойt.
(свойства инвариантности формы первого
дифференциала )
Поэтому
таблица дифференциалов будет иметь
место, если вместо xподставитьu(t).Cпомощью формулы для
дифференциала функции записанной в
обратном порядке
некоторые
интегралы
могут быть сведены к виду
,
которые легко сводятся к табличным.
Здесь
.
Указанное преобразование называется «Подведение под знак дифференциала».
Примеры.
1)
=
= =
=
=
=
2)
=
=
.
3)
=
=
=
4)
=
=
=arcsin(
)+C
5)
=
=
=
2. Метод подстановки.
Иногда
удается подобрать в качестве новой
переменной такую дифференцируемую
функцию
,
что имеет место равенствоf(x)dx=q(
(x))
(x)dx,
причем интеграл
легко вычисляется. Таким образом:
=
Указанный
прием вычисления интеграла
называетсяинтегрирование методом
замены переменной.
Примеры.
1)
(6x-5)dx.
Подстановка
2)
;
подстановкаt=ax+b,
тогда
dt=d(ax+b)=(ax+b
dx=adx,
dx=
,
=
=
3)
.
Подстановка
=
4)
;
подстановка
5)
;
подстановка
3. Интегрирование по частям.
Пусть
u(x) иv(x)-
дифференцируемые функции, Тогда
справедлива формула интегрирования по
частям:
=uv-
.
Указанная
формула позволяет свести вычисление
интеграла
к вычислению интеграла
.
Если принято решение об интегрировании
по частям то это целесообразно производить
следующим образом:
1) подынтегральное выражение содержит в виде сомножителя функции lnx,arcsinx,arccosx,arctgx. В качествеu(x) выбирают указанные функции;
2)
подынтегральная функция имеет вид
P(x)
,P(x)sinax,P(x)cosax, гдеP(x)-
многочлен относительно переменнойx.
В качестве u(x) выбираютP(x).
3)
подынтегральная функция имеет вид
и т.д. После двукратного применения
формулы интегрирования по частям
получаем исходный интеграл с некоторым
коэффициентом. Решая уравнение находим
искомый интеграл.
Примеры.
1)
).
Полагаемu=lnx,dv=xadx,
тогдаdu=dlnx=(lnx)’dx=
,
2)
Полагаемu=arcsinx,dv=xdx, тогда
3)
Полагаем
Для
вычисления
полагаем
Таким
образом
4)
Полагаем
Чтобы
вычислить
полагаем
Далее
или
.
Определённый интеграл
Понятие определённого интеграла, свойства, основные правила и приемы интегрирования.
Пусть
определена
на сегменте
Определение.Разбиение
сегмента
задано, если заданы точки
такие, что
Обозначим
через
длину
частичного сегмента
Максимальную из этих длин обозначим
которую назовём диаметром разбиения
В частичном сегменте выберем произвольную
точку
Определение.
Выражение
называется
интегральной суммой и обозначается
Определение.
Число
называется пределом интегральных сумм
при
стремлении диаметра разбиений
к нулю, если для любого
существуют
такие
что
из условия
при
любом выборе промежуточных точек
следует неравенство
.
При этом пишут
Определение.
Функция
называется интегрируемой на сегменте
если
для этой функции существует предел
её интегральных сумм
при стремлении диаметра
разбиений
к нулю.
Число
называется определённым интегралом от
функции
в пределах от а до в и обозначается
Числа
и
– пределы интегрирования (
– нижний предел,
– верхний предел).
Примечание. Переменную х под знаком определённого интеграла
можно
заменить на любую другую переменную:
и т.д.
Теорема.
Если функция
непрерывна на сегменте
,
то она интегрируема на нём.
Пример.
1. Путь S, пройденный точкой за время
со скоростью
,
естьS=
.
2.
Работа А, совершаемая над материальной
точкой переменной силой f(x),
есть
.
3.
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком
неотрицательной непрерывной функции
,
снизу
– осью Ох, с боков – прямыми
равна
Свойства определенного интеграла
Предполагаем,
что все рассматриваемые ниже функции
непрерывны на сегменте
.
а)
Интеграл от суммы(разности) функций
равен суме(разности) интегралов от этих
функций:
;
б)
постоянная выносится за знак интеграла:
в)
определённый интеграл с равными нижним
и верхним пределами равен нулю:
;
г)
при перестановке пределов интегрирования,
знак определённого интеграла меняется
на противоположный:
г)
для любых a,b,cсправедливо
д)
если
на
, то
,
е)
если
на
, то
,
ж)
,
г)
найдется такая точка
, что
.
Следствие
. При
Пусть
-
любая первообразная функции
.
Тогда имеет место формула Ньютона-Лейбница
Замена переменной в определенном
интеграле: пусть функция
непрерывна
на
,
а функция
непрерывна
вместе со своей производной на
,
причем
,
тогда справедлива формула:
.
Пусть
-
непрерывно дифференцируемые на
функции. Формула интегрирования по
частям имеет вид:
Примеры.
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
6.
=
;
7.
=
;
8.
;
находим первообразную:
вычислим
,
вычислим
Подставим найденные первообразные и вычислим
=
=
.
Приложения определённого интеграла
Вычисление площади в прямоугольных координатах
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
кривой
y=f(x),
,
прямымиx=aиx=bи осью
Ох находится по формуле
.
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной
кривой
,
прямой
и осью абсцисс.
Решение. Построим фигуру, ограниченную указанными линиями:
.
Применим
метод интегрирования по частям, полагая
,
тогда
.
Подставляем в формулу интегрирования по частям:
=
=
=
.
Площадь
фигуры, ограниченной кривыми y=f(x),y=g(x)
и прямымиx=a,x=b, причем
,
находится по формуле
.
Площадь
фигуры, ограниченной кривыми
,
и прямыми у=с, у=d, причем
,
находится по формуле
.
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной
прямой
и
параболой
.
Решение. Находим точки пересечения прямой и параболы и строим ограниченную ими фигуру:
