учеб реология Арет

Если отнести скорость удаления частиц вдоль оси х к первоначальному расстоянию ds, то получим

Правая часть уравнения (6) представляет собой скалярное произведение вектора n и

v

диады v, которая имеет компоненты i , где vi vz ,vy ,vz ,

qj

qj x,y,z.

Тогда можно записать тензор градиентов скоростей вида:

35

На основе аналогичных предыдущим рассуждениям, если рассматривать не скоро-

сти , а смещения частиц, можно записать тензор градиентов смещений:

Оба тензора (7) и (8) несимметричны, но путем добавления и вычитания половины того же, но транспонированного тензора, можно получить сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Идея симметризации очевидна из равенства

Тогда

36

Аналогично разлагается тензор градиентов смещений (8). На простом плоском при-

мере можно видеть, что компонента антисимметричного тензора смещений

которые в сумме описывают поворот недеформированных элементов материала

(рис.2).

Очевидно второе слагаемое в правой части уравнения (10) – антисимметричный тензор описывает вращение элемента среды без течения. Исследование таких дви-

жений является предметом кинематики и динамики твердых тел. Симметричные тензора рассматриваются в теории упругости, пластичности, в гидродинамике. В

любом курсе этих дисциплин можно ознакомиться с более подробным выводом тен-

зоров (7), (8) и (10). Для реологии симметричная часть тензора (10) используется для постулирования ( или находится экспериментально) совместно с тензором напряже-

ний различные реологические уравнения состояния материала, которые с уравне-

ниями неразрывности, движения , энергии, краевыми и начальными условиями по-

37

зволяют составить замкнутую систему дифференциальных уравнений для решения различных инженерных задач.

Рис. 2_4_2_2

2_5 2.5 Вязкость, упругость, тиксотропия, реопексия, эффекты Пойнтинга и Вейссен-

берга, объемная вязкость.

2.5.1 Вязкость

Понятие вязкости является одним из важнейших в реологии и поэтому требует отдельного рассмотрения. Во многих случаях вязкость в смысле коэффициента вяз-

кости не всегда приемлема в реологии пищевых масс Например, утверждение, что коэффициент вязкости определенного хлебного теста равна столькими-то Па с по существу не корректна, поскольку тесто не является ньютоновской жидкостью, для которых коэффициент вязкости является функцией скорости сдвига. В реологиче-

38

ской литературе встречаются термины «вязкость по Гепплеру», «вязкость по Энгле-

ру» и другие подобные определения.

Остановимся в начале на элементарных представлениях о вязкости материалов.

Наиболее употребимом смысле вязкость является свойством пищевого материала противодействовать сдвиговому течению, хотя некоторые пищевые среды обладают еще выраженной существенной объемной вязкостью. Будем считать, если это спе-

циально как-то не обговаривается, что под течением подразумевается состояние движения среды, при котором изменение скоростей сдвига вызывает изменение противодействующих течению сил внутреннего трения ( касательных напряжений).

При пластическом сдвиговом течении это противодействие рассматривается посто-

янным.

Тогда коэффициент динамической вязкости можно определить как меру интен-

сивности противодействующих сдвиговому плоскопараллельному течению сил внутреннего трения в материале. Линейный закон вязкого течения Ньютона можно записать в виде

где dF - сила внутреннего трения на элементарной площадке;

dS - площадь элементарной площадки;

dv

- градиент скорости движения слоев в направлении, перпендикулярном к по-

dx

верхности слоев ( скорость сдвига);

- коэффициент динамической вязкости.

Формулу (2_5_1_1) можно переписать в следующем виде

где - плотность материала ( масса единицы объема),

39

- коэффициент кинематической вязкости Заметим, что линейные законы упругости Гука, диффузии Фика и теплопереноса Фурье можно записать аналогично:

G - модуль упругости сдвига;

du

- градиент сдвига в направлении, перпендикулярном к плоскости сдвига;

dx

dM - масса первого компонента, которая переносится за время dt через элементар-

ную площадку dS в направлении нормали х к рассматриваемой площадке в сторону убывания плотности первого компонента;

d

- градиент плотности;

dx

D - коэффициент диффузии;

dQ - количество тепла, которая переносится за время dt через элементарную пло-

щадку dS в направлении нормали х к рассматриваемой площадке в сторону убыва-

ния температуры;

dT

-градиент температуры;

dx

K - коэффициент теплопроводности.

Сравнивая формулы (2_5_1_1 – 2_5_1_5) можно видеть что коэффициенты

, ,G,D,K с формальной математической точки зрения аналогичны. Коэффици-

40