Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

Физика

Файл:

Беланов А.С. Физика ч. II (Электричество)

.pdf

Скачиваний:

116

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Разность потенциалов на электродах источника, рис. 5, равна напряжению на внешнем

участке цепи:

U = 1 2

= IR = - Ir .

(24)

Если цепь разомкнуть, то ток в ней прекратится и напряжение

U на зажимах источника станет равным его ЭДС, т.е. U = .

В общем случае, напряжение на внешнем участке цепи, рис. 5,

будет равно

U = IR = R / (R + r).

(25)

Рис. 5

В пределе, когда R 0 (источник тока замкнут накоротко), то

в этом случае, в соответствии с (23), ток максимален

Iмакс = Iкз

= / r ,

(26)

а напряжение во внешней цепи равно нулю.

В противоположном предельном случае, R , т.е. цепь разомкнута и ток отсутствует: I=limR [ / (R+r)]=0, а напряжение на зажимах источника максимально и

равно его ЭДС: UR = R / (R + r)= , т. к. limR R / (R + r) = 1.

(27)

5. Закон Джоуля – Ленца. Работа и мощность тока. КПД источника

Проводник нагревается, если по нему протекает электрический ток. Джоуль и Ленц установили, что количество выделившегося тепла Q = I2 Rt, (28)

где I - ток, R – сопротивление проводника, t - время протекания тока. Легко доказать, что

Q = I2 Rt = UIt = U 2 t/R = qU,

(29)

где q = It - электрический заряд.

Если ток изменяется со временем (т. е. в случае непостоянного тока), то

t
Q = dQ = i2 Rdt ,	(30)
0

где i – мгновенное значение тока.

Нагревание проводника происходит за счет работы, совершаемой силами

электрического поля над носителями заряда. Эта работа
A = qU = UIt =I2 Rt = U2 t / R .	(31)

Работа А, энергия W , количество тепла Q в СИ измеряются в Дж.

Так как мощность характеризует работу, совершаемую в единицу времени, т.е. Р = dA , то

P = UI = I2 R = U2 / R .	dt
P = UI = I2 R = U2 / R .	(32)
Мощность в СИ измеряется в ваттах: 1 Вт = 1 Дж / 1 с; откуда 1 Дж = 1 Втс;

3600 Дж = 1Вт час, 3,6 •106 Дж = 1 кВт час.

Формулы (31) и (32) позволяют рассчитать полезную работу и полезную мощность.


Затраченная работа и мощность определяется по формулам
Aзатр = q = It = I 2 (R + r)t =				2		t.		(33)
			R r

Pзатр=	q	= I = I 2 (R + r) =			2		.	(34)

	t				R r

Отношение полезной работы (мощности) к затраченной характеризует КПД источника

(35)

затр

R r

затр

Из (35) следует, что при R 0, 0; при R , 1.Но при R ток I 0 и

поэтому А 0 и Р 0.

Определим величину R , при котором выделится максимальная

мощность. Легко

показать, что это наступает при R = r, тогда

PMAКС=I

R =

(36)

(R r)2

КПД в этом случае будет 50%.

6. Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме

Согласно закону Джоуля - Ленца (28) в элементарном цилиндрическом объеме dV с площадью поперечного сечения dS и длиной dl за время dt выделится тепло

dQ =I2 Rdt =(jdS)2 dl dt = j2 dldSdt = j2 dVdt. dS

Разделив на dV и dt, найдем количество тепла, выделяющееся в единицу времени в

единице объема			Q уд =		dQ	= j2 .	(37)
единице объема			Q уд =			= j2 .	(37)
					dVdt
здесь Q уд -называется удельной тепловой мощностью тока, которая в СИ измеряется в
Вт/м3.
С учетом (16) из (37) следует, что					Q уд = j2 = E2 .		(38)
Формулы (37) и (38) выражают закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме.
	7. Правила Кирхгофа
	I1		В основе расчета электрических цепей лежат два правила Кирхгофа: 1)
			АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ	СУММА ТОКОВ, СХОДЯЩИХСЯ			В УЗЛЕ,
			АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ	СУММА ТОКОВ, СХОДЯЩИХСЯ			В УЗЛЕ,
						n
						n
I2		I3	РАВНА НУЛЮ, т. е.			Ik 0.	(39)
	Рис. 6					k 1
	Рис. 6

Току, текущему к узлу, приписывается один знак ("+" или "-"), а току, текущему от узла, - другой знак; таким образом, для направлений токов в узле электрической схемы, пред-

ставленном на рис. 6, имеем I1 I2 I3 0.

2) В ЛЮБОМ ЗАМКНУТОМ КОНТУРЕ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СУММА НАПРЯЖЕНИЙ НА ВСЕХ УЧАСТКАХ ЭТОГО КОНТУРА РАВНА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЕ ЭДС,

	n	m
ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ЭТОМ КОНТУРЕ	Ik Rk	i	(40)
	k 1	i 1
При этом также следует придерживаться	правила	знаков: токи,	текущие вдоль

выбранного направления обхода контура считаются положительными, а идущие против направления обхода - отрицательными. Соответственно положительными считаются ЭДС тех источников, которые вызывают ток, совпадающий по направлению с обходом контура (см. рис.7), где обозначает направление обхода контура .

Применим правила Кирхгофа для расчета электрической цепи, представленной на рис. 7,

содержащей т = 4 узлов (a, b, c, d). Для этого

нужно записать (m-1) уравнений на основании

первого правила Кирхгофа и еще одно уравнение

для единственного здесь замкнутого контура,

направление -

используя второе правило Кирхгофа и принимая

обхода

во внимание направления токов в ветвях, обхода

контура и ЭДС:

I1 I4 I5 0,

I1 I6 I2 0,

I2 I3 I7 0,

I1R1 I2R2 I3R3 I4R4 1 2 3.

Лекция 8. Магнитное поле в вакууме 8.1. Магнитный момент контура с током. Магнитная индукция

Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой, напрмер, токи I1 I2 притягиваются, а токи I1 I2 отталкиваются. Взаимодействие токов осуществляется через поле, которое называется магнитным. Следовательно, движущиеся заряды (токи ) изменяют свойства окружающего их пространства - создают в нем магнитное поле. Это поле проявляется в том, что на движущиеся в нем заряды (токи) действуют силы. Подобно тому, как для исследования электрического поля мы использовали пробный заряд, применим для исследования магнитного поля пробный ток, циркулирующий в плоском замкнутом контуре очень малых размеров . Будем называть такой контур пробным контуром.

	pm	Ориентацию его в пространстве характеризует направление
	pm	нормали n к контуру, восстанавливаемой по правилу правого бу-
I	n
I	n	равчика: вращаем рукоятку правого буравчика по направлению то-
	S	ка в контуре, тогда направление его поступательного движения
		даст направление нормали n (см. рис. 1). Помещая пробный
	Рис. 1	контур в магнитное поле, обнаружим, что поле стремится
		повернуть контур (нормаль) в определенном направлении.

Вращающий момент, действующий на контур, зависит как от свойств магнитного поля в данной точке, так и от свойств контура. Оказывается, что максимальная величина вращающего момента пропорциональна IS, т.е. Mмакс ~ IS, где I -ток контуре, S - площадь

контура с током (рис. 1). Векторную величину

рm ISn

(1)

называют магнитным моментом контура, который в СИ измеряется в А м2.

На пробные контуры с разными рm, помещаемыми в данную точку магнитного поля, будут действовать разные по величине максимальные вращающие моменты Ммакс , но отношение Ммакс / рm будет для всех контуров одинаково, оно будет являться силовой характеристикой магнитного поля, которая называется магнитной индукцией

В = М макс /рm .

(2)

Магнитная индукция есть вектор, направление которого совпадает с направлением нормали контура с током, свободно установившегося во внешнем магнитном поле(см.рис.2)

			Поле вектора В можно представить с помощью силовых
			линий (см. рис. 2), как и поле вектора Е ; таким образом В
			линий (см. рис. 2), как и поле вектора Е ; таким образом В
	I	n	является аналогом Е .Магнитная индукция в СИ измеряется
		n	в теслах: 1Тл=1Нм/1А м2. Тесла равен магнитной индукции
		B	однородного поля, в котором на плоский контур с током,
			однородного поля, в котором на плоский контур с током,
	Рис. 2		который имеет магнитный момент 1Ам2, действует
			максимальный вращающий момент, равный 1 Нм.
	На контур с током,		помещенный в магнитное поле с индукцией B ,	действует
вращающий момент				(3)
вращающий момент			M pm B .	(3)
	Величина его		M = pmBsin

при / 2 имеем М = Mмакс = pm B , при = 0 или = , M= 0.

8.2. Закон Ампера

Ампер нашел, что на элемент тока Idl , помещенный в магнитное поле с

индукцией B , действует сила	dF Idl	B .		(4)
Произведение Idl называют элементом тока,		где	dl - вектор,	совпадающий с
элементом участка тока и направленный в сторону, в которую течет ток.

8.3. Закон Био-Савара – Лапласа

Био, Савар и Лаплас установили закон, который позволяет вычислить магнитную ин дукцию поля, созданного элементом тока Idl на расстоянии r от него:

dlα r

Рис. 3

dB =	0	Idlsin	,	(5)
	4	r2

т.е. индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока Idl в точке А, (см. рис. 3), на расстоянии r от него, пропорциональна величине элемента тока и синусу угла , равного углу между направлениями элемента тока Idl и r , а также обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; 0 4 10 7 Гн / м - магнитная постоянная.

Закон Био-Савара – Лапласа в векторной форме имеет вид: dB =	0		Idl r	.	(6)
	4		r3

Закон Био-Савара – Лапласа позволяет вычислить магнитную индукцию поля любых

n
систем токов, используя принцип суперпозиции магнитных поля B= Bk .	(7)
k 1

Применим закон Био-Савара – Лапласа и принцип суперпозиции (7) к расчету магнитных полей следующих токов:

8.3.1. Поле прямого тока:

α1

α d

I r0

Рис. 4

Из рис. 4 с учетом (6) находим, что dВ плоскости, в которой лежат dl и r ; далее можно найти

dl rd ,откуда, принимая во внимание, что r r0 sin sin

	получаем dl							r0d				. С учетом этого из (5) находим:
	получаем dl							sin2				. С учетом этого из (5) находим:
								sin2
					0	Idl sin						0		Ir d sin sin 2		0		I sin d
	dB				0							0		0		0
	dB			4		r2				4				r2 sin 2	4			r0
				4		r2				4				r2 sin 2	4			r0
													0
	интегрируя последнее равенство, получаем:
	0I	2						0I									(8)
B dB		sin d									(cos 1 cos 2 ).
B dB	4 r	sin d					4 r				(cos 1 cos 2 ).
	0		1						0
			1

Для бесконечно длинного проводника 1 0, 2 и из (8) следует, что

[1 ( 1)]

(9)

4 r0

2 r0

C учетом (4) и (9) cила взаимодействия двух бесконечно длинных тонких и

параллельных проводников

BIl

0 I1I2

l 2 10 7

I1I2

l .

(10)

2 r0

Пусть I1 = I2 = I, r0 = 1м,

l = 1м,

F = 2 10 7 Н, тогда I = 1 А. Это было строгое опреде-

ление единицы силы тока - ампера.

8.3.2. Поле кругового тока

Можно показать, что магнитная индукция поля, созданного

круговым

током

радиуса

R, на

расстоянии

вдоль

перпендикуляра,

восстановленного из центра контура, (см.

рис.5), будет

2I R

0IR

(11)

4 (R

2 r2)3

2(R2 r2)32

В частности, в центре кругового тока (r0 0),

2 l

Рис. 5

(12)

Для плоской катушки, состоящей из N, витков магнитная индукция на оси катушки

(13)

B 0NI /2R.

При больших расстояниях от контура, (рис. 5), т. е. при r0 >> R из (11) получим

IR2 /2r

(14)

Лекция 9. Магнитное поле в вакууме (продолжение)

9.1. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Поле соленоида и тороида

В третьей лекции было показано, что для электростатического поля

Edl

т. е. циркуляция вектора

Е вдоль замкнутого контура L равна нулю. Можно показать,

что циркуляция вектора

В вдоль замкнутого контура L равна алгебраической сумме

токов,

охватываемых контуром, умноженной на

0 , т. е.

ddll

Bdl

0 Ik

(1)

I 2 I1

k 1

При этом токи будем считать положительными, если они

совпадают с поступательным движением правого буравчика,

рукоятка которого вращается по направлению обхода контура.

Для нашего случая, (см. рис. 1), это будут токи,

текущие от

Рис. 1

нас и обозначенные . Токи, текущие в обратном направлении, будут считаться отрицательными. Для рис. 1, это будут токи, текущие на нас и обозначенные кружком с точкой в центре кружка.

Поскольку Bdl 0, то магнитное поле не является потенциальным, оно называется

вихревым или соленоидальным.

Теорему о циркуляции вектора B (1) называют также законом полного тока для магнитного поля в вакууме.

Применим теорему о циркуляции (1)для вычисления индукции магнитного поля соленоида и тороида.

					28
	9.1.1. Поле соленоида
				Соленоидом, (см. рис. 2), называется цилиндрическая
					катушка,		на	которую		вплотную намотано
	I			B	большое		число		витков	провода. Пусть	N -
2		3			число	витков		вдоль длины соленоида l,			тогда
2	dl	3					n
	dl				Bdl 0 Ik ,			где L – контур 12341
	l				L		k 1
1	l	4	Рис. 2		2	3 4 1
1	L	4	Рис. 2		или	Bdl Bdl Bdl Bdl 0NI .
					или	Bdl Bdl Bdl Bdl 0NI .
					1		2	3	4
					1		2	3	4

Интегралы на участках 1-2, 3- 4 равны нулю, т.к. B dl и Bdl =Bdlcosπ/2 =0;

интеграл на участке 4-1 равен нулю, т.к. вне соленоида индукция B равна нулю. Поэтому

	3	3	0NI , отсюда	B= 0IN /l 0nI ,
Bdl	Bdl	Bdlcos00	0NI , отсюда	B= 0IN /l 0nI ,	(2)
L	2	2

где n=N / l - число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Поле соленоида однородно.

9.1.2.Поле тороида

Тороид (см.рис.3), представляет тонкий провод, плотно навитый на каркас,

имеющий форму тора. Для него	Bdl Bl B(2 R) 0NI,
	l
где R - радиус средней линии тора, отсюда B = 0IN /l 0nI		(3)

Рис. 4

Поле тороида неоднородно: оно уменьшается с увеличением r. Поле вне тороида равно нулю.

9.2. Магнитный поток. Теорема Гаусса

Для однородного магнитного поля, пронизывающего плоскую

поверхность площади S, ( см. рис. 4 ), магнитный поток
Ф=BS = BScos =Bn S	(4)

где S = Sn , n - нормаль к поверхности.

В общем случае вводят понятие магнитного потока через малую поверхность площадью dS, которую можно считать

плоской и в пределах которой магнитное	поле можно
B считать однородным, т. е.
dФ = B dS = BdS cos = Bn dS.	(5)

Магнитный поток сквозь произвольную поверхность Ф= dФ = BdS BndS .

		S	S
В природе нет магнитных зарядов и поэтому теорема Гаусса для магнитного потока
имеет вид	Ф = BdS BndS 0 ,		(6)
	S	S

т.е. магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

Пусть в формуле (4) = 0 , т.е. B n (см. рис. 4), тогда Ф=BS . Магнитный поток в СИ измеряется в веберах - (Вб): 1Вб = 1 Тл 1 м2.

Поток магнитной индукции в 1Вб - это поток, пронизывающий площадку в 1 м2, расположенную перпендикулярно силовым линиям однородного магнитного поля, индукция которого равна 1Тл.

9.3. Работа перемещения проводника и рамки с током в магнитном поле

Согласно закону Ампера на проводник с током,

(см.

рис. 5), в магнитном поле, направленном «на нас»,

действует сила F = IlВ, которая направлена вправо. Если

под действием этой силы проводник переместится на dx,

то dA = Fdx = IBldx = IBdS = IdФ, где dФ=Ф2–Ф1, - это

изменение магнитного потока, пронизывающего контур.

Рис. 5

Итак, работа, совершаемая магнитным полем

dA=IdФ.

(7)

В частности, работа при вращении контура с током в однородном мэгнитном поле, (см.рис.6). из положения 1, в котором векторы pm и B направлены в противоположные стороны, в положение 2, в котором векторы pm и B направлены одинаково, равна

1 2

I B I

Рис. 6

A = I(Ф2- Ф1),

Ф1=BS BScos BS; Ф2 BS BScos0 BS

т.о. A=I[BS-(-BS)] = 2IBS = 2pm B. (8) pm Заметим, что работа совершалась за счет энергии

источника тока, а не за счет магнитного поля.

9.4. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

На элемент тока Idl в магнитном поле с индукцией B действует сила Ампера

dF = Idl B.

(9)

Появление этой силы связано с действием силы со стороны магнитного поля на носители тока в проводнике. Покажем это. Пусть заряд носителя тока q, скорость его направленного движения v, концентрация n, тогда

I =	dQ	qdN	qndV	qnS	dl	qnSv,
	dt	dt	dt
					dt

(10)

где dQ = qdN - заряд в объеме проводника dV = Sdl; ndV=dN - число носителей тока в

проводнике длиной dl; dl

- направлено по току и совпадает со

б)

скоростью

положительных

зарядов.

Подсталяя

(10) в (9),

найдем

= qdNv

B .

FЛ

FЛ B

Отсюда,

сила, действующая

на один заряд,

называемая

Рис. 8

силой Лоренца,

FЛ

qv B.

(11)

(12)

При наличии электрического поля сила FЛ qE qv B.

pms

				Это выражение называют формулой Лоренца.
q		V		Модуль магнитной составляющей силы Лоренца (11) равен :
				B	FЛ=qvВsin ,	(13)

		FЛ 0	Рис. 9
				здесь	- угол между направлениями векторов v	и B .
		FA 0
		Направление силы Лоренца для положительного заряда, движущегося со
	скоростью		v, перпендикулярно линиям B , показано на рис. 8а , а направление силы

Лоренца для отрицательного заряда изображено на рис. 8б; на рис.9 скорость v,

индукция B коллинеарны, поэтому FЛ 0.

Лекция 10. Магнитное поле в веществе

В предыдущих лекциях по магнетизму предполагалось, что провода, по которым текут токи, создающие магнитное поле, находятся в вакууме. Если несущие ток провода находятся в какой - либо среде, то магнитное поле изменяется. Объясним это явление.

10.1. Магнитные моменты атомов
pm		Опыт показывает, что все вещества, помешенные в магнитное
pm		поле, намагничиваются. Классическая физика это объясняет
n	e	сушествованием в веществе микротоков, обусловленных
I	e	движением электронов в атомах и молекулах.
		движением электронов в атомах и молекулах.
Рис. 1	V	Действительно, электрон, движущийся по круговой орбите вокруг
Рис. 1		ядра своего атома эквивалентен круговому току, (см.рис.1),
		поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом
			pm IS ISn,	(1)
который по модулю равен			pm eS /T eSv,	(2)

где T - период вращения, v = 1 / T - частота вращения электрона на орбите.

Кроме того, электрон обладает собственным или спиновым магнитным моментом

(spin - верчение; о нем подробнее будем говорить в следующем семестре).

Общий магнитный момент атома равен сумме орбитальных и спиновых

магнитных моментов, входящих в атом электронов: pa pm pms . (3)

Магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше и ими обычно пренебрегают.

10.2. Намагниченность и напряженность магнитного поля

Всякое вещество является магнетиком, оно спосбно под действием внешнего магнитного поля приобретать магнитный момент, т.е. намагничиваться. Для количественного описания намагничивания вводят вектор намагниченности, равный

			n
			pia
		P
магнитному моменту единицы объема магнетика, т. е.	J	m	i 1	,	(4)
		V
			V

где п - число атомов (молекул), содержащихся в объеме V , Pm - магнитный момент атомов в объеме V , pia- магнитный момент i - того атома.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика

#
15.03.20161.26 Mб116Беланов А.С. Физика ч. II (Электричество).pdf
#
09.04.20152.88 Mб264Лекции по физике.doc
#
09.04.2015915.23 Кб45Лекции по физике.pdf