16. Биномальное распределение

Пусть — конечная последовательность независимыхслучайных величин с распределением Бернулли, то естьПостроим случайную величину:.

Тогда , число единиц (успехов) в последовательности, имеет биномиальное распределение сстепенями свободы и вероятностью «успеха». Пишем:Y∼Bin(n,p). Её функция плотности вероятности задаётся формулой:

где —биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

,

где обозначает наибольшее целое, не превосходящее числоy, или в виде неполной бета-функции:

.

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

,

откуда,,

а дисперсия случайной величины..

18. Нормальное распределение,

также называемое гауссовским распределением или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр ? — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а ?? — дисперсия.Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, могущих вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей).Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

19. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Как уже было установлено, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу, равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах:. Для нормально распределенной случайной величины соответственно получим:. Преобразуем последнее выражение, введя новую переменную. Следовательно, показатель степени выражения, стоящего под интегралом преобразуется в:. Для замены переменной в определенном интеграле еще необходимо заменить дифференциал и пределы интегрирования, предварительно выразив переменную из формулы замены:;;– нижний предел интегрирования;– верхний предел интегрирования; (для нахождения пределов интегрирования по новой переменнойв формулу замены переменной были подставленыи –пределы интегрирования по старой переменной). Подставим все в последнюю из формул для нахождения вероятности:где– функция Лапласа. Вывод: вероятность того, что нормально распределенная случайная величинапримет значение, принадлежащее интервалу, равна:, где– математическое ожидание,– среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

20. Регрессио́нный (линейный) анализ 

— статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X₁,X₂,...,X_p. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения.