процессы -гидравлические / гидравлические / гидравлические / 1.5. Потери энергии при движении жидкости (2 часть)

помощью ЭВМ. Этого недостатка лишена формула Конакова

(1.210)

и широко распространенная формула Альтшуля

. (1.211)

При турбулентном течении в условиях прямого влияния шероховатости стенок на гидравлическое сопротивление потока широко используются результаты опытов. Никурадзе провел исследования с латунными трубами, поверхность которых можно считать гладкой, и с трубами, имеющими равномерно-зернистую шероховатость. Искусственная равномерно-зернистая шероховатость создавалась песчинками одинаковой крупности, наклеенными с помощью лака на внутреннюю поверхность трубы. Относительная искусственная шероховатость при диаметре зерен песка и диаметре трубы d в опытах изменялась в пределах , а относительная гладкость . Опыты проводились в широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса. По измеренному перепаду давлений из формулы Дарси-Вейсбаха определяли  (Рис. 1.46).

На Рис. 1.46 нанесены линия для  при ламинарном движении (1) и линия для  по формуле Блазиуса для турбулентного потока в трубах с гладкими стенками (2)

, (1.212)

а также опытные точки и линии для труб с искусственной шероховатостью. На графике установлены три характерные зоны: зона сопротивления ламинарного потока I при , когда =f(Re); промежуточная зона II при Re от 2300 до Re, когда коэффициент сопротивления является функцией и числа Re, и относительной шероховатости , т. е. когда ; зона квадратичного сопротивления III , когда  функция только относительной шероховатости k и практически не зависит от Re:  = f(k).

Для квадратичной и промежуточной зон существуют многочисленные эмпирические формулы. Рассмотрим наиболее распространенные.

Рис. 1.46. Зависимость коэффициента гидравлического трения от числа Рейнольдса для искусственной равномерно-зернистой шероховатости в трубах (по Никурадзе): 1 – ламинарное движение; 2 – турбулентный поток в трубах с гладкими стенками

Для квадратичной зоны (при Re) предложены формулы Никурадзе (1.209) и Шифринсона

, (1.213)

где k_э  так называемая эквивалентная шероховатость. Под эквивалентной шероховатостью понимается такая высота выступов равномерной шероховатости, применение которой в формулах, содержащих , приводит к вычислению коэффициента сопротивления для данной категории русл в реальных условиях. Числовые значения k_э имеются в справочной литературе.

Для промежуточной зоны, когда , следует отметить формулы Колбрука и Альтшуля. Колбрук, употребив формулу Прандтля (1.215) для гладких труб и формулу Никурадзе (1.209) для шероховатых труб, вывел для промежуточной зоны формулу

. (1.214)

Альтштуль, использовав формулу Блазиуса (1.212) для гладких труб и формулу Шифринсона (1.213) для шероховатых, предложил формулу

. (1.215)

При очень больших числах Re, когда можно пренебречь величинами и 68/Re, формулы Колбрука и Альтшуля превращаются соответственно в формулы для шероховатых труб: первая  в формулу Никурадзе, вторая  в формулу Шифринсона. Когда можно пренебречь для гладких труб величинами и , формула Колбрука переходит в формулу Прандтля для гладких труб, а формула Альтшуля  в формулу Блазиуса.

Характер изменения закономерностей для  в первой и третьей зонах объясняется теорией Прандтля так. Толщина вязкого подслоя обратнопропорциональна числу Рейнольдса, ибо с увеличением Re возрастают турбулентные пульсации и ширина турбулентного ядра потока. При относительно малых значениях Re и малой шероховатости стенок (см. Рис. 1.45, а) вязкий подслой как бы покрывает шероховатость (). В этом случае шероховатость стенок не влияет на сопротивление, поскольку в вязком подслое возмущения, вызванные шероховатостью, сразу же угасают. Это и есть область гидравлически гладких труб. При больших значениях Re и большой шероховатости стенок (Рис. 1.45, б) толщина вязкого подслоя меньше высоты выступов шероховатости стенок (), и завихрения, образующиеся за выступами шероховатости, значительно влияют на эффект перемешивания, а следовательно, и на сопротивление, что характеризует область шероховатых труб.

Полуэмпирическая теория Прандтля дала возможность качественно и количественно описать закономерности турбулентного течения для гладких и шероховатых труб. Однако она не отражает особенностей сопротивления в промежуточной области между гладкими и шероховатыми трубами.

Потери энергии в местных сопротивлениях. Формулы Вейсбаха. Силы трения на участках резкоизменяющегося и прерывистого движений жидкости распределяются в потоке неравномерно, поэтому теоретическое определение местных потерь напора затруднено.

Местные потери энергии происходят на некоторой длине потока l_m, включающей участки резкоизменяющегося и неравномерного движений. На практике l_m часто бывает пренебрежимо малой по сравнению с общей длинной потока (трубопровода). Считают, что l_m= 0, а значение местных потерь энергии h_м.с относят к одному поперечному сечению потока. Потерю по длине h_l условно считают распределенной по всей длине потока равномерно.

В пределах местного сопротивления наблюдаются деформация эпюр скоростей вдоль потока, повышение пульсаций скоростей и давлений. Так как турбулентные касательные напряжения определяются пульсационными составляющими скоростей (1.185), то они увеличиваются при увеличении пульсаций, что, в свою очередь, влечет за собой повышение потерь напора. Рассматривая далее местные потери напора при турбулентном режиме движения жидкости, будем иметь в виду только область квадратичного сопротивления.

Потери энергии потоком при резком расширении трубопровода. Формула Борда. Величину местной потери энергии при протекании жидкостью стыка труб разного диаметра в направлении от меньшего диаметра к большему, с некоторыми допущениями, можно определять теоретически. Поток (струя), выходящий из трубы D₁ (Рис. 1.47), на некоторой длине l_в (в связи с наличием продольных сил трения, действующих на ее боковой поверхности) расширяется и в сечении 2^'-2^' заполняет все сечение трубы D₂. На длине l_в поток отрывается от стенок трубы? и образуется водоворотная зона А, имеющая в данном случае кольцевую форму. На протяжении расширяющего потока (между сечениями 1-1 и 2^'-2^') и переходного участка (между сечениями 2^'-2^' и 2-2) получается неравномерное движение, местами резкоизменяющееся.

М

Рис. 1.47. Резкое расширение потока

ежду сечениями 1-1 и 2-2 возникает местная потеря энергии (напора) h_м.с. Ее называют потерей напора на резкое расширение потока, обозначая h_р.р. Впервые расчетную зависимость для h_р.р получил французский инженер Борда, который уподобил резкое расширение потока явлению удара твердых неупругих тел. Для вывода формулы Борда составим систему из уравнений Бернулли и количества движения.

Уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения энергии в потоке жидкости, учитывает внешние и внутренние силы, уравнение количества движения  только внешние. Решая совместно эти два уравнения, определим работу внутренних сил трения, обуславливающих искомую потерю напора. Для упрощения рассуждений и выводов будем считать участок трубопровода с внезапным расширением горизонтальным, а движение в нем  равномерным . Тогда уравнение Бернулли для сечения 1-1 и 2-2

. (1.216)

Разность давлений р₁-р₂ найдем по уравнению количества движения, согласно которому секундное изменение количества движения потока в направлении какой-либо оси равно сумме проекций на ту же ось всех внешних сил, действующих на участок потока между сечениями 1-1 и 2-2,

, (1.217)

где Т_х  проекция на направление движения внешней силы трения, действующей со стороны стенок трубы на рассматриваемый отсек жидкости abcd. Так как длина участка потока между сечениями 1-1 и 2-2 невелика, то касательной силой пренебрегаем и считаем Т_х= 0 (первое допущение); G_х  проекция собственного веса отсека abcd на направление движения, G_х= 0; R_х  проекция (на направление движения) реакции стенок (без учета сил трения); величина R_х = R, где R  давление вертикальной стенки ad, имеющей кольцевую форму, на жидкость; Р_х  сумма проекций на ось x сил гидродинамического давления P₁ и P₂, действующих соответственно на торцевые сечения 1-1 и 2-2 выделенного потока.

Сумму R_х+Р_х в (1.217) можно представить в виде

R_х+Р_х=(P₁-P₂)+R=(P₁+R)-P₂. (1.218)

Поскольку в сечении 2-2 равномерное движение, давление в нем распределяется по гидростатическому закону. Примем, что давление по всему сечению 1-1 (по площади ad, охватывающей поток и водоворотную область) также распределяется по гидростатическому закону (второе допущение). При этом можем записать

, (1.219)

где p₁ и p₂  гидродинамические давления в центрах тяжести сечений 1-1 (круга ad) и 2-2 (круга bc);  площадь сечения второй трубы (т. е. площадь круга ad или bc).

Тогда с учетом (1.219) уравнение (1.218) примет вид

,

или

. (1.220)

Умножая и деля (1.220) на 2 и подставляя его в уравнение (1.216), имеем

, (1.221)

т. е. формула Борда

. (1.222)

Разность называют потерянной скоростью. Согласно формуле Борда потеря напора при резком расширении равняется скоростному напору, отвечающему потерянной скорости.

Преобразуем формулу Борда, вынося сначала за скобки с учетом того, что ,

.

Обозначим , тогда

. (1.223)

76