процессы -гидравлические / гидравлические / гидравлические / 1.5. Потери энергии при движении жидкости (1 часть)

Полуэмпирическая теория турбулентности Прандтля. Закон распределения скоростей по сечению трубы. Трудности, возникающие при попытках математического описания турбулентного движения, привели к возникновению полуэмпирических теорий турбулентного движения.

Кратко рассмотрим теорию Л. Прандтля (1933 г.), сыгравшую значительную роль в становлении науки о турбулентности и не потерявшую своего значения до настоящего времени.

Центральным в теории Прандтля является допущение, что продольные и поперечные пульсации в формуле (1.185) пропорциональны в соответствующих точках градиенту осредненной скорости:

, (1.183)

где y  расстояние от стенки; l  длина пути перемешивания. Под путем перемешивания понимается расстояние в поперечном направлении, которое проходят комки жидкости, сохраняя свою индивидуальность (Рис. 1.43).

П

Рис. 1.43. К определению длины пути перемешивания

ройдя путь перемешивания, комок жидкости практически мгновенно смешивается с окружающей средой.

Подставив выражения (1.183) в формулу (1.178), получим

, (1.184)

Очевидно, возможный масштаб пульсаций тем меньше, чем ближе данная струйка осредненного движения к стенке. Прандтль предположил, что

, (1.185)

где = const  универсальная постоянная Прандтля.

Турбулентное касательное напряжение

, (1.186)

а полное

. (1.187)

И

Рис. 1.44. Структура турбулентного потока

з соотношения (1.194) видно, что с приближением к твердой стенке можно попасть в такую область потока, в которой турбулентное касательное напряжение окажется значительно меньше молекулярного и им можно будет пренебречь. Область, в которой молекулярное касательное напряжение значительно больше турбулентного касательного напряжения, называется вязким подслоем (Рис. 1.44), а турбулентным ядром  область, где >>. Буферный слой .

В вязком подслое скорости быстро нарастают от стенки, градиент скорости велик, его можно считать величиной постоянной, а распределение скоростей в вязком подслое  линейным.

Рассмотрим распределение скоростей в турбулентном ядре потока. Из (1.186) находим , откуда

. (1.188)

Для интегрирования этого уравнения Прандтль ограничил пределы интегрирования пространством от вязкого подслоя внутрь турбулентного ядра, принимая, что в турбулентном ядре потока касательное напряжение постоянно и равно касательному напряжению на стенке, т. е. const. Но по (1.177)  динамическая скорость, следовательно,

. (1.189)

Интегрируя (1.189), находим закон распределения скоростей по нормали к стенке трубы в турбулентном ядре потока

. (1.190)

Итак, распределение скорости по нормали к стенке трубы в турбулентном ядре подчиняется логарифмическому закону. Определим значение С в уравнении (1.190) из граничных условий. На оси трубы имеет место максимальная скорость . Следовательно, на оси трубы = , а y=r, тогда

. (1.191)

Определив из (1.191) значение С и подставив его в уравнение (1.190), получим

. (1.192)

Для построения эпюры скоростей по этому уравнению необходимо иметь в виду, что координата y лежит в пределах , где  толщина вязкого подслоя. Определим . В вязком подслое , или . Но , тогда .

В пределах вязкого подслоя из-за линейного распределения скоростей , где  скорость на границе вязкого подслоя.

Тогда или

. (1.193)

Величина , сходная по структуре с числом Рейнольдса, по опытным данным равна 11,6 = N.

Из (1.193) находим толщину вязкого подслоя

. (1.194)

Учитывая из (1.172), умножая и деля (1.194) на d, получим

. (1.195)

С увеличением числа Рейнольдса толщина вязкого подслоя уменьшается.

Определим среднюю скорость при турбулентном режиме движения из уравнения расхода.

Объемный расход , а т. к. y = r₀-r, где r  текущий радиус трубы, то

. (1.196)

Элементарная площадка кольцевого сечения трубы

. (1.197)

Объемный расход с учетом (1.196) и (1.197)

. (1.198)

Интегрируя (1.198), получаем

,

где средняя скорость

. (1.199)

Обозначая , получим , откуда

. (1.200)

По своему физическому смыслу D представляет собой недостачу средней скорости до максимальной, определенной в безразмерной форме. Поэтому эта величина называется дефицитом скорости. Опыты показывают, что D  малоизменяемая величина, равная . Тогда

. (1.201)

Гидравлическое сопротивление при турбулентном движении. Как и при ламинарном движении определяется по формуле (1.167). Входящий в нее коэффициент при ламинарном режиме движения зависит только от числа Рейнольдса, а при турбулентном  от многих факторов, при этом зависимость от числа Рейнольдса оказывается более сложной.

Из (1.172) следует

. (1.202)

Подставляя в (1.202) значение из (1.199) имеем

. (1.203)

Определим , входящее в (1.203). Из (1.192)

. (1.204)

На границе вязкого подслоя при , (1.204) преобразуется:

. (1.205)

Согласно (1.194) , а имеем

.

Тогда (1.205) примет вид

. (1.206)

Подставляя (1.206) в (1.203) и переходя к десятичным логарифмам, имеем

. (1.207)

Из опытных данных И. Никурадзе, полученных в 1932 г. под руководством Л. Прандтля, следует = 0,4, D = 3,75. Соответственно (1.207)

. (1.208)

Формула Прандтля-Никурадзе (1.208) рассчитана теоретическим путем в предположении, что толщина вязкого подслоя  больше высоты выступов шероховатости  (Рис. 1.45, а), благодаря чему вязкий подслой как бы устраняет влияние этих выступов на развитие водоворотных образований турбулентного потока.

Рис. 1.45. Схема течения турбулентного потока:

а – толщина вязкого подслоя больше высоты выступов шероховатости; б – толщина вязкого подслоя меньше высоты выступов шероховатости

Однако во многих случаях это условие не соблюдается. Толщина вязкого подслоя  уменьшается при росте числа Рейнольдса, поэтому в одной и той же трубе с данной неизменной шероховатостью, но увеличенным расходом Q, а, следовательно, и Re нарушается условие и шероховатость начинает оказывать свое влияние. При очень больших числах Re шероховатость играет решающую роль (Рис. 1.45, б).

Для шероховатых труб Никурадзе получена полуэмпирическая формула

. (1.209)

Недостаток формулы (1.208) ( представляется в ней в неявном виде) решается методом последовательных приближений, лучше с

71