процессы -гидравлические / гидравлические / гидравлические / 1.3. Гидродинамика (2 часть)

истинными неодинаковыми по сечению скоростями.

Из уравнения (1.65) следует уравнение расхода

Q = υ f. (1.67)

Для двух сечений 1-1 и 2-2 элементарной струйки (Рис. 1.24) в установившемся движении можно записать: и . Очевидно  по условию несжимаемости жидкости (иначе пространство между сечениями должно возрастать) и  по условию сплошности течения (иначе в указанном пространстве между сечениями образуется пустота  разрыв сплошности).

Рис. 1.24. Вывод уравнения сплошности течения

Следовательно, условие неразрывности течения запишется так:

или и , (1.68)

Для всего потока это условие будет записано в виде:

, или , (1.69)

т. е. расход потока вдоль по течению один и тот же.

При движении жидкости через площадь поперечного сечения, отличного от круглого, в качестве расчетного определяющего размера используют гидравлический радиус.

Гидравлический радиус находят по формуле

, (1.70)

где f  площадь поперечного сечения трубопровода или канала, через которую протекает жидкость, м²; n  смоченный периметр, м.

Н

Рис. 1.25. Профили прямоугольного и кольцевого каналов

апример, гидравлический радиус трубы .

Диаметр, выраженный через гидравлический радиус, называется эквивалентным диаметром.

. (1.71)

Эквивалентный диаметр равен диаметру некоторого трубопровода круглого сечения, у которого отношение площади поперечного сечения к смоченному периметру то же, что и у данного трубопровода некруглого сечения.

Например:

для канала прямоугольного сечения (рис. 1.25)

,

для канала кольцевого сечения (рис. 1.25)

.

Дифференциальные уравнения движения Эйлера. Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости, которая движется без трения, т. е. не обладает вязкостью. Выделим в потоке элементарный параллелепипед объемом dV = dx dy dz, ориентированный относительно осей координат (см. рис. 1.3).

Проекции сил тяжести и давления, действующих на параллелепипед, составляют:

на ось х

,

на ось у

,

на ось z

.

Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение.

Масса жидкости в объеме параллелепипеда равна

. (1.72)

Если жидкость движется со скоростью , то ее ускорение равно , а проекции ускорения на оси координат: , и , где _x, _y и _z — составляющие скорости вдоль осей х, у и z. Для установившегося потока в рассматриваемом случае , и . Производные же , и отвечают изменению во времени значений _x, _y и _z при перемещении частицы жидкости из одной точки пространства в другую. Тогда в соответствии с основным принципом динамики

,

, (1.73)

,

или после сокращения

,

, (1.74)

,

где субстанциональные производные соответствующих составляющих скорости

,

, (1.75)

.

Система уравнений (1.74) с учетом выражений (1.75) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для установившегося потока.

При неустановившемся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частицы потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени в каждой точке. Поэтому для неустановившихся условий они принимают вид

,

, (1.76)

.

Система уравнений (1.74) с учетом выражений (1.76) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановившегося потока.

Дифференциальные уравнения движения НавьеСтокса. При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.

Действие сил трения Т на выделенный в потоке вязкой жидкости элементарный параллелепипед (рис. 1.26) проявляется в возникновении на его поверхности касательных напряжений . Рассмотрим первоначально относительно простой случай одномерного плоского потока капельной жидкости в направлении оси х, когда проекция скорости v_x зависит только от расстояния z до горизонтальной плоскости отсчета.

В

Рис. 1.26. Схема к выводу уравнений НавьеСтокса

этих условиях касательные напряжения возникают лишь на поверхностях dF верхней и нижней граней элементарного параллелепипеда, причем dF = dx dy. Если касательное напряжение на нижней грани параллелепипеда равно , то на верхней оно составляет .

Производная выражает изменение касательного напряжения вдоль оси z в точках, лежащих на нижней грани параллелепипеда, а представляет собой изменение этого напряжения вдоль всей длины dz ребра параллелепипеда.

Указанные на Рис. 1.26 стрелками направления сил трения, приложенных к параллелепипеду на его нижней и верхней гранях, обусловлены тем, что более медленные вышележащие слои жидкости затормаживают слой, в котором находится параллелепипед, а более быстрые нижележащие слои «разгоняют» его.

Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х

. (1.77)

Подставив в это выражение значение касательного напряжения из уравнения , где  вязкость жидкости, получим

. (1.78)

В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости _x будет изменяться не только в направлении z, но и в направлениях всех трех осей координат. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х примет вид

.

Сумму вторых производных по осям координат называют оператором Лапласа:

. (1.79)

Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на ось х может быть представлена как . Соответственно проекции равнодействующей сил трения:

на ось у

,

на ось z

.

Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жидкости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при выводе уравнений Эйлера), составляют:

на ось х

,

на ось y

,

на ось z

.

Суммы проекций сил на оси координат, в соответствии с основным принципом динамики, должны быть равны произведению массы жидкости  dx dy dz (  плотность жидкости), заключенной в элементарном объеме, на проекции ускорения на оси координат. Поэтому, приравнивая проекции равнодействующей произведениям массы на проекции ускорения, после сокращения на dx dy dz, получим

,

, (1.80)

,

где соответствующие субстанциональные производные выражены для установившегося и неустановившегося потоков уравнениями (1.75) или (1.76).

Уравнения (1.80) представляют собой уравнения НавьеСтокcа, описывающие движение вязкой капельной жидкости.

При движении идеальной жидкости, когда силы трения отсутствуют, при подстановке  = 0 в уравнения (1.80) последние совпадают с уравнениями движения Эйлера. Полное описание движения вязкой жидкости возможно путем решения уравнений НавьеСтокса совместно с уравнением неразрывности потока. Однако уравнения НавьеСтокса не могут быть решены в общем виде. Этостановится возможным либо при ряде упрощающих допущений, либо при преобразовании уравнений методами теории подобия.

Распределение скоростей и расход жидкости при установившемся ламинарном потоке. В случае ламинарного движения вязкой жидкости в прямой трубе круглого сечения всю жидкость можно мысленно разбить на ряд кольцевых слоев, соосных с трубой (Рис. 1.27, а).

Рис. 1.27. Схема к определению распределения скоростей и расхода жидкости при

ламинарном движении: а – поток жидкости, движущейся в трубе; б – элементарный слой движущейся жидкости

Вследствие действия между слоями сил трения слои будут двигаться с неодинаковыми скоростями. Центральный цилиндрический слой у оси трубы имеет максимальную скорость, но по мере удаления от оси скорость элементарных кольцевых слоев будет уменьшаться. Непосредственно у стенки жидкость как бы «прилипает» к стенке, и ее скорость здесь обращается в нуль.

Выделим в потоке жидкости, ламинарно движущемся по трубе радиусом R (Рис. 1.27, б), цилиндрический слой длиной l и радиусом r.

Движение слоя происходит под действием разности сил давления Р₁ и P₂ с обеих торцовых сторон цилиндра:

, (1.81)

где p₁, p₂  гидростатические давления в сечениях 11 и 22.

Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего трения Т, для которой справедливо выражение

,

где _r  скорость движения жидкости вдоль оси цилиндра на расстоянии r от оси; F =  наружная поверхность цилиндра;   вязкость жидкости.

Знак минус указывает на убывание скорости с увеличением радиуса r (при r = R величина = 0).

При установившемся движении разность сил давления P₁Р₂ затрачивается на преодоление силы трения T, и сумма проекций всех этих сил на ось потока должна быть равна нулю. Вследствие трения движение рассматриваемого цилиндрического слоя тормозится, значит, сила трения, приложенная к его боковой поверхности, направлена противоположно разности P₁Р₂ и проектируется на ось, направление которой совпадает с направлением движения, со знаком минус. Следовательно,

или , (1.82)

откуда, после сокращения и разделения переменных, получим

. (1.83)

Переходя ко всему объему жидкости в трубе, проинтегрируем это дифференциальное уравнение, учитывая, что радиус в левой части уравнения изменяется от r до r = R, а переменная скорость в правой части  от  = _r до  = 0 (у стенки, где r = R).

. (1.84)

Тогда

. (1.85)

Скорость имеет максимальное значение на оси трубы, где r = 0,

. (1.86)

Сопоставляя выражения (1.85) и (1.86), находим

. (1.87)

Уравнение (1.87) представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.

Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рассмотрим элементарное кольцевое сечение (см. Рис. 1.27, б) с внутренним радиусом r и внешним радиусом (r + dr), площадь которого равна dS = 2rdr. Объемный расход жидкости через это сечение составляет

, (1.88)

или с учетом уравнения (1.85)

. (1.89)

Интегрируя последнее уравнение, получим общий расход жидкости через трубу

. (1.90)

Подставляя вместо R диаметр трубы d = 2R и обозначая (р₁ — р₂) = р, окончательно находим

. (1.91)

Уравнение (1.90) или (1.91), определяющее расход жидкости при ее ламинарном движении по круглой прямой трубе, носит название уравнения Пуазейля.

Соотношение между средней скоростью v и максимальной скоростью v_max можно получить, сопоставив значение Q из уравнений (1.70) и (1.90),

и ,

откуда

. (1.92)

Сравнивая уравнения (1.86) и (1.92), находим

. (1.93)

Таким образом, при ламинарном потоке в трубе средняя скорость жидкости равна половине скорости по оси трубы.

Соответственно параболический закон распределения скоростей по сечению трубы, выражаемый уравнением (1.87), может быть представлен в виде

. (1.94)

Уравнение неразрывности (сплошности) потока. Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие сплошности или неразрывности движения, т. е. не образуется пустот, не заполненных жидкостью.

В

Рис. 1.28. Схема к выводу дифференциального уравнения неразрывности потока

ыделим внутри потока элементарный параллелепипед объемом dV = dx dy dz, ребра которого ориентированы параллельно осям координат (Рис. 1.28). Пусть составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью dS = dy dz, равна _x.

Тогда, согласно уравнению массового расхода, через эту грань в параллелепипед войдет вдоль оси х за единицу времени масса жидкости  _x dy dz, а за промежуток времени d  масса жидкости

M_x =  _x dy dz d, (1.95)

где   плотность жидкости на левой грани параллелепипеда.

На противоположной (правой) грани параллелепипеда скорость и плотность жидкости могут отличаться от соответствующих величин на левой грани и будут равны и .

Тогда через правую грань параллелепипеда за то же время d выйдет масса жидкости

. (1.96)

Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси x

. (1.97)

Если составляющие скорости вдоль осей у и z равны _y и _z, то приращения массы в элементарном объеме вдоль этих осей по аналогии составят

, (1.98)

. (1.99)

Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за время d равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат:

. (1.100)

Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объеме. Поэтому

. (1.101)

Приравнивая оба выражения dM, сокращая на (dx dy dz) и перенося в левую часть уравнения, окончательно получим

. (1.102)

Уравнение (1.102) представляет собой дифференциальное уравнение неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости.

Уравнение (1.102) может быть записано и в несколько иной форме. Проводя дифференцирование произведения , получим

или

, (1.103)

где  субстанциональная производная плотности.

В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т. е. = 0, и уравнение (1.102) принимает вид

. (1.104)

Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, а также для газов в условиях изотермического потока при скоростях, значительно меньших скорости звука,  = const и, следовательно,

. (1.105)

Уравнение (1.105) является дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости.

Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой части уравнения (1.105) называется дивергенцией вектора скорости и обозначается через div . Поэтому данное уравнение можно представить как

. (1.105a)

Для того чтобы перейти от элементарного объема ко всему объему жидкости, движущейся сплошным потоком по трубопроводу переменного сечения (рис. 1.29), проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.104).

Если бы площадь сечения трубопровода не изменялась, то для установившегося однонаправленного движения (в направлении оси х) интегрирование уравнения (1.104) дало бы зависимость const, где   средняя скорость жидкости.

Если же площадь сечения S трубопровода переменна, то, интегрируя также по площади, получим

const. (1.106)

Д

Рис. 1.29. К выводу уравнения

постоянства расхода

ля трех различных сечений (11, 22 и 33) трубопровода, изображенного на Рис. 1.29, имеем

, или , (1.106a)

где  массовый расход жидкости, кг/с.

Выражение (1.106) или (1.106а) представляет собой уравнение неразрывности (сплошности) потока в его интегральной форме для установившегося движения. Это уравнение называется также уравнением постоянства расхода. Согласно уравнению постоянства расхода, при установившемся движении жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его поперечное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса жидкости. Для капельных жидкостей const, и уравнение (1.106) принимает вид

const. (1.107)

Следовательно,

const или , (1.107a)

где Q = S  объемный расход жидкости, м³/с.

Из уравнения (1.107а) следует, что скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Согласно уравнению (1.107) массовый расход жидкости через начальное сечение трубопровода равен ее расходу через конечное сечение трубопровода. Таким образом, уравнение постоянства расхода является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.

В некоторых случаях, например при вскипании жидкости вследствие резкого понижения давления, образуется пар, что может привести к разрыву потока. В таких условиях, наблюдаемых иногда при работе насосов, уравнение неразрывности потока не выполняется.

43