Начерталка.М-134 / LEKTsIYa_4-5

Лекция 4- 1

ЛЕКЦИЯ 4

ТЕМА:

1. Способы преобразования ортогональных проекций.

2. Способ замены плоскостей проекций.

3. Четыре основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций.

4. Примеры решения задач.

1. Способы преобразования ортогональных проекций.

Под преобразованием комплексного чертежа понимают любые построения на чертеже, отображающие определенные преобразования пространства, т. е. изменение положения геометрических образов относительно плоскостей проекций или изменение самих плоскостей проекций.

Проекции образов, произвольно расположенных в пространстве, не всегда удобны для решения задач. Поэтому необходимо использовать способы преобразования, когда они приводят к более простому способу решения задач. Изменение взаимного расположения объекта и системы плоскостей проекций может быть достигнуто двумя основными способами:

1. переменой данной системы плоскостей проекций на новую так, чтобы неподвижный в пространстве геометрический образ оказался в каком – либо частном положении относительно новой системы;

2. перемещением геометрический образ в пространстве так, чтобы он оказался в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций.

2. Способ замены плоскостей проекций.

Способ перемены (замены) плоскостей проекций заключается в том, что последовательно переходят от данной системы плоскостей проекций П1/П2, в которой заданы образы, к новой системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций П1/П4 или П2/П4, при этом заданные геометрические образы не изменяют своего положения в пространстве,

Для решения задачи достаточно переменить только одну из плоскостей проекций на новую. Большинство задач решаются применением не более двух замен плоскостей проекций.

Рассмотрим сущность способа на примере проецирования точки А (рис.1).

1. Пусть задана пара плоскостей П1 и П2. Найдем проекцию точки А и А.

Лекция 4 - 2

Рис. 1 Рис. 2

Введем новую плоскость П4 перпендикулярно П1 и спроецируем на нее точку А – получаем проекцию А1.Таким образом мы имеем две проекции точки в системе П1/П2 и две проекции точки в системе П1/П4. Построения на эпюре (рис.2):

- проводим новую ось Х14 – линию пересечения плоскостей проекции П1 и П4;

- плоскость П4  П1, то линия связи между проекциями А и А1 перпендикулярна оси Х14, т.е. АА1 Х14;

- от новой оси проекций Х14 на линии связи откладываем расстояние , равное высоте, т.е. удалению проекции А от оси Х14, и получаем новую проекцию точки А2. Последнее построение объясняется тем, что плоскости П2 и П4 обе перпендикулярны П1 и поэтому остаются неизменными расстояния от точки А до плоскости П1, т. е. высота точки не изменилась и АА=А12А=А14А1.

Инвариантные свойства, используемые при построении:

1.Принадлежность двух проекций точки одной линии связи;

2.Перпендикулярность линии связи оси проекций;

3.Однозначность определения третьей проекции точки по двум данным;

И новые свойства :

4.Неизменность расстояний – расстояние от новой оси проекций до новой проекции точки равно расстоянию от заменяемой оси проекций до заменяемой проекции точки.

5.При каждом переходе от старой системы плоскостей проекций к новой сохраняется требование перпендикулярности плоскостей проекций новой системе.

Оси Х12 и Х14 являются и базами отсчета размеров.

Лекция 4- 3

3. Четыре основные задачи, решаемые способом замены проекций.

1 основная задача – прямую общего положения преобразовать в положение прямой уровня. Для этого достаточно заменить одну из имеющихся плоскостей проекций П1 или П2 на новую плоскость параллельно расположенную по отношению к заданной прямой общего положения.

Пусть задана прямая общего положения АВ. Чтобы прямая стала линией уровня, например, фронталью относительно новой плоскости проекций, проведем горизонтально проецирующую плоскость П4 параллельно АВ ( на любом расстоянии от отрезка АВ) и построим новую проекцию точек А и В – точки А1 и В1. Для этого на эпюре проведем новую ось Х14 параллельно АВ ( заметим, что новую ось можно проводить на любом расстоянии от проекции АВ) и построим на продолжении линии связи из точек А иВ1 новые проекции точки А1 и В1, пользуясь правилами, указанными выше.

На рисунке 3 прямая АВ стала фронталью, на рисунке 4 АВ – горизонталь.

Рис. 3 Рис. 4

После замены мы получили следующее:

1. Прямая АВ стала линией уровня.

2. Проекции А1В1 и проекции А1В1 –это натуральные величины отрезка АВ.

3. Угол , образованный проекцией А1В1 с осью Х14 дает натуральную величину угла наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций.

4. Угол , образованный проекцией А1В1 с осью Х14 дает натуральную величину угла наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций.

2 основная задача – прямую общего положения преобразовать в положение проецирующей. Для этого надо заменить еще одну плоскость проекций, переходя от системы П1/П4 к системе П4/П5. Новую плоскость проекций П5 выбираем перпендикулярно П4 и перпендикулярно АВ. На рисунке 5 новую ось Х45 проводим перпендикулярно А1В1, причем на любом расстоянии от проекции прямой, удобном для решения на листе. Замечаем, что линии связи из точек будут совпадать с прямой А1В1. Откладывая расстояния на этой прямой от оси до новой проекции равное

Лекция 4 – 4

расстоянию от заменяемой оси, получаем проекции отрезка на эту плоскость в виде точки, т. е. прямая стала проецирующей.

Рис. 5

3 основная задача – плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей. Для этого достаточно заменить одну из имеющихся плоскостей проекций П1 или П2 на новую плоскость перпендикулярно расположенную по отношению к заданной плоскости общего положения.

Пусть задана плоскость общего положения треугольником АВС. Смотри на рис. 6. Чтобы плоскость стала проецирующей, например, фронтально - проецирующей относительно новой плоскости проекций, проведем горизонтально проецирующую плоскость П4 перпендикулярно треугольнику АВС ( на любом расстоянии от АВС) и построим новую проекцию точек А, В и С – точки А1 , В1 и С1. На основании теоремы о проецировании прямого угла, для построения перпендикуляра в плоскости АВС воспользуемся горизонталью h. Для этого проведем новую ось Х14 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали, т.е. Х14  h,( заметим, что новую ось можно проводить на любом расстоянии от проекции АВС) и построим на продолжении линии связи из точек А,В и С новые проекции точки А1, В1 и С1, пользуясь правилами.

Рис. 6 Рис. 7

Лекция 4- 5

На рисунке 7 плоскость общего положения, заданную треугольником АВС, преобразована в горизонтально - проецирующую плоскость.

Решив задачу, мы получили:

1.Плоскость АВС стала проецирующей.

2. Угол , образованный проекцией А1В1С1 с осью Х14 дает натуральную величину угла наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций. Рис. 6.

3.Угол , образованный проекцией А1В1 С1 с осью Х14 дает натуральную величину угла наклона плоскости АВС к фронтальной плоскости проекций. Рис. 7.

4 основная задача – плоскость общего положения преобразовать в положение плоскости уровня. Для этого дополнительно надо заменить еще одну из имеющихся плоскостей проекций П4 на новую плоскость П5 параллельно расположенную по отношению к построенной проекции А1В1С1 плоскости общего положения. На чертеже (рис.8) проводим новую ось Х45 параллельно А1В1С1 (на любом удобном расстоянии от А1В1С1). На продолжении линии связи от оси Х45 до новых проекций А2В2С2 откладываем расстояния, равные расстоянию от оси Х14 до старых проекций АВ С.

Рис. 8

Итак, выполнив две замены, мы достигли следующего:

1. Плоскость общего положения преобразована в плоскость уровня относительно плоскости П5.

2. Проекция А2В2С2 дает натуральную величину треугольника АВС.