Начерталка.М-134 / lektsia_3

Лекция 3-1

ЛЕКЦИЯ 3

ТЕМА:

1. Поверхности. Плоскость. Определение, задание и изображение на чертеже.

2. Положение плоскости относительно плоскостей проекций.

3. Следы плоскости.

4. Взаимное положение с плоскостью точки и линии. Определение видимости на чертеже.

5. Линии уровня в плоскости. Линии наибольшего наклона плоскости (линия ската).

1. Поверхности.

Поверхность – это непрерывная совокупность последовательных положений переменной образующей (линии), перемещающейся по определенному закону.

Поверхности могут быть заданы аналитически, то есть уравнениями и называться алгебраическими или трансцендентными, и графически - на чертеже.

Уравнение поверхности Ф (х,у,z) =0 n-ой степени, значит поверхность называется алгебраической n – го порядка. Поверхность первого порядка суть плоскость.

Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют положение плоскости в пространстве, поэтому чтобы задать плоскость на чертеже необходимо иметь не менее двух проекций трех точек, не принадлежащих одной прямой ( рис.2).

Образование плоскости аналогично образованию комплексного чертежа точки и прямой. Плоскость прямоугольно проецируют на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2 (рис.1). Плоскость П1 вращением вниз вокруг оси ох совмещают с плоскостью П2 и получают эпюр двух проекций точек А,В,С и А,В,С.

С″

А″ А А″ В″ А″ а″

В″

В А′ С′ А′ а′

С″ С′ В′ В′

Рис.2 Рис.3

С′ n″ m ″ k″ l″

Рис.1

m′ n′ k′ l′

Рис. 4 Рис. 5

ЛЕКЦИЯ 3 – 2

В частных случаях плоскость может быть задана, но не ограничена: точкой и не принадлежащей ей прямой (рис. 3); двумя пересекающимися прямыми (рис. 4); двумя параллельными прямыми (рис. 5); плоской фигурой, например, треугольником (рис. 6) и следами (рис.7, 8).

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

Следом плоскости называется линия пересечения данной плоскости с плоскостью проекций: с горизонтальной плоскостью проекций - горизонтальный след плоскости, с фронтальной плоскостью – фронтальный след плоскости (рис.7, 8).

2. Положение плоскости относительно плоскостей проекций.

На рисунках 1,2,3,4,5,6 заданы плоскости общего положения, т.е. не параллельные и не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций.

Плоскости частного положения.

Проецирующие плоскости – перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Проецирующая плоскость отображается прямой на плоскость, которой она

перпендикулярна. Эта прямая называется

А″ следом плоскости.

Горизонтально - проецирующая плоскость-

В″ А перпендикулярная горизонтальной плоскости

С″ проекций. Горизонтальная проекция -

В прямая, которая одновременно является

С В′ горизонтальным следом этой плоскости.

А′ На этой линии располагаются горизонталь-

С′ Рис. 9 ные проекции всех точек и линий плоскости.

Лекция 3 - 3

Рис. 10 Рис. 11

Поэтому по фронтальной проекции любого геометрического образа можно построить его горизонтальную проекцию, но обратно горизонтальная проекция точки не определяет ее фронтальную проекцию, т.к. лежит на горизонтально проецирующей прямой. Горизонтально - проецирующая плоскость вполне может быть задана одной своей горизонтальной проекцией. То же относится и к фронтально - проецирующей плоскости.

Фронтально – проецирующая плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Смотри рис. 11.

Плоскости по отношению к плоскостям проекций могут быть параллельны и тогда они называются плоскостями уровня:

n″ m″

А″ В″ С′ α″ К″′

B′

n′ = m ′= β

A′ C′ K′

Рис. 11 Рис. 12

Горизонтальная – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1

(рис. 11). Фронтальная проекция этой плоскости – линия, параллельная оси проекций ох.

Лекция 3– 4

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций П2 (рис. 12). Горизонтальная проекция этой плоскости - линия, параллельная оси ох.

Профильная – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций П3 .

Запомните особенности плоскостей частного положения:

• у плоскостей уровня, принадлежащие им отрезки линий, углы и размеры фигур, проецируются без искажения на плоскость, которой они параллельны.

• Одна из проекций этих плоскостей превращается в прямую линию, причем для плоскости уровня эта линия перпендикулярна линии связи.

• Собирательное свойство проецирующих плоскостей – все точки, линии и фигуры проецируются на след плоскости, которой они перпендикулярны.

3. Следы плоскости.

Более общим случаем задания плоскости является задание плоскости следами. Для этого достаточно дать горизонтальную проекцию горизонтального следа и фронтальную проекцию фронтального следа, причем они пересекутся в точке на оси ох (рис. 7). Легко перейти от задания плоскости прямыми линиями к заданию следами, построив следы

двух любых прямых этой плоскости, и наоборот (рис. 13).

1" α″

С″ А″ В″ 2"

1' С′ А′ В′

2'

α′

Рис. 13

4. Взаимное положение точки, линии и плоскости.

1. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 14). Причем по свойству проецирования: если точка лежит на прямой, то проекция точки лежит на соответствующей проекции прямой. Для этого через точку, например, заданную проекцией К , надо провести прямую, принадлежащую данной плоскости, и по линии связи найти вторую проекцию точки К .

2 Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости (рис. 15).

Лекция3-5

К" 1"

2" К"

2' К'

К ' 1'

Рис. 14 Рис. 15

3. Прямая в пространстве может пересекаться с плоскостью, т.е. иметь одну общую точку, проекции которой будут лежать на линии связи одноименных проекций как самой прямой, так и прямой, принадлежащей плоскости.

4. Прямая и плоскость в пространстве могут быть параллельны – пересекаться в несобственной точке; одноименные проекции параллельных прямых вследствие параллельности проектирующих плоскостей параллельны (рис. 16). Для построения прямой, проходящей через заданную точку К ,параллельно заданной плоскости, надо через точку К провести линию параллельно любой линии, лежащей в плоскости. Причем

проекции линий должны быть соответственно параллельны.

Для определения на чертеже видимости прямых по отношению к плоскостям проекций используется метод конкурирующих точек.

K" (1")=2" 3

a" b" n" 1 4

K' 2 3'=(4)

a' b' n'

Рис. 16 Рис. 17

5. Линии уровня плоскости.

Из лекции 2 известно, что:

Горизонталь – прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1

h// П1; h//ox и h – по построению.

Фронталь – прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П2

f// П2 ; f//ox и f – по построению.

Профильная прямая – прямая, параллельная профильной плоскости проекций П3

p// П1; p//oy и p//oz и p3 - по построению.

Лекция 3 -6

Через точку А провести горизонталь, фронталь и профильную прямую, лежащие в данной плоскости треугольника АВС. Смотри рис.18 и рис.19. Очевидно, что через каждую точку плоскости можно провести только одну горизонталь, фронталь и профильную прямые.

A" B "

1 " h" 1" 2" f"

C" K"

A' C'

1' 2' f'

1' h'

B' K'

Рис. 18 Рис. 19

Заметим, что в случае задания плоскости следами (рис. 20,21) горизонтальная проекция горизонтали всегда параллельна горизонтальному следу плоскости, в которой лежит эта горизонталь, а фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости. α"

П2 α " f h 1" K" h"

K α

1' 2"

П1 2' K' f'

α' h'

Рис. 20 Рис. 21

Линии наибольшего наклона плоскости.

Линиями наибольшего наклона к плоскости проекций называются линии, образующие с плоскостью проекций наибольший угол. В случае с горизонтальной плоскостью проекций эта линия называется линией ската, на основании того, что материальное тело (точка или шарик) скатывается по плоскости именно по этой линии. Смотри рис. 22.

Теорема: прямые, лежащие в данной плоскости и перпендикулярные к линиям уровня, являются линиями наибольшего наклона.

Для построения линии ската (рис. 23):

1.проводится горизонталь h // П1 в плоскости АВС: h//ox и h – по построению.

2.Согласно теореме о проецировании прямого угла, прямая, перпендикулярная к горизонтали сохраняет перпендикулярность в горизонтальной плоскости проекций.

Лекция 3-7

А

α А'

h'

П 1 =1'

Рис. 22

Поэтому строим перпендикуляр к h из любой точки плоскости треугольника АВС.

3.Проводится фронталь f // П2 в плоскости треугольника АВС: f// ox и f  – по построению

4. Строится перпендикуляр к фронтальной проекции f фронтали.

Ясно, что через любую точку плоскости проходит одна линия ската к горизонтальной проекции и одна линия наибольшего наклона к фронтальной плоскости, т.к. через каждую точку плоскости можно провести только один перпендикуляр к горизонтали и один к фронтали. B"

h"

A" 1" C"

B'

h'

A' 1' C'

Рис. 23