4. Малые колебания системы около положения устойчивого равновесия

Рассмотрим произвольную консервативную систему с голономными и стационарными связями. Положение системы будем определять обобщённой координатой q, отсчитываемой от положения устойчивого равновесия. Предположим, что система отклонена на небольшую величину от положения равновесия, и ей сообщена небольшая начальная скорость. Тогда, вследствие устойчивости положения равновесия, система будет совершать движение вблизи этого положения равновесия, то есть q и будут всё время малы по модулю. Это даёт возможность применить изложенный выше метод анализа поведения механических систем.

Для этого выражения кинетической и потенциальной энергии разложим в ряды по степеням q и , сохранив в них члены не выше второго порядка малости.

Кинетическая энергия

(15.4)

где обобщённый коэффициент инерции а(q) является функцией обобщённой координаты q.

Так как Т  0 при  0, то а(q)  0 при любых q.

Разложим а(q) в ряд Маклорена по степеням q

Тогда

Для того, чтобы сохранить члены не выше второго порядка малости относительно q и , отбросим все слагаемые в квадратной скобке, начиная со второго

(15.5)

Это приближённое значение кинетической энергии отличается от точного (15.4) тем, что а(q) заменяется на его значение «а» в положении равновесия.

Потенциальная энергия

Составим уравнения движения (уравнения Лагранжа 2-го рода), учитывая, что для консервативной системы

но

то есть

или

(15.6)

где (k вещественно, так как, а  0, с  0)

Уравнение (15.6) называется дифференциальным уравнением малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия.

Решение этого уравнения имеет вид

или

То есть вблизи положения устойчивого равновесия консервативная система с одной степенью свободы совершает незатухающие гармонические колебания.

Получим теперь дифференциальное уравнение малых колебаний в общем случае.

В общем случае сила, действующая на i-ю точку системы может быть функцией от положения точки , её скоростии времениt

C учётом малости колебаний представляем в виде

где - потенциальные силы,

- диссипативные силы

- силы, зависящие от времени (внешние)

Тогда обобщённую силу можно представить в виде

где - составляющая обобщённой силы от потенциальных сил;

- составляющая обобщённой силы от диссипативных сил;

- составляющая обобщённой силы от сил, зависящих от времени, и действующих извне.

Составляющая обобщённой силы от потенциальных сил равна

,

где .

Составляющая обобщённой силы от диссипативных сил равна

Учитывая первое тождество Лагранжа

,

получаем

Введём функцию, называемую диссипативной функцией Релея

.

Тогда

Учитывая выражение для скорости (при стационарных связях)

,

получим выражение для диссипативной функции

где - обобщённые коэффициенты диссипации, причём.

Тогда

Для системы с одной степенью свободы

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Здесь

Тогда

или

где Е - полная механическая энергия

Таким образом, удвоенное значение диссипативной функции Рэлея есть скорость уменьшения полной механической энергии системы.

Составляющую обобщённой силы от сил можно получить обычным способом

Окончательно запишем уравнение Лагранжа второго рода в виде

Или

где a > 0; b  0; c > 0.

где ; ω² = с/а.