3. Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости положения равновесия. Критерий Сильвестра. Теоремы Ляпунова

Достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы определяются следующей теоремой Лагранжа -Дирихле:

Если в положении изолированного равновесия консервативной системы с идеальными и стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для системы с одной степенью свободы

Для консервированной системы, имеющей S степеней свободы критерий минимума имеет более сложный вид.

Рассмотрим одно из положений равновесия системы. Не нарушая общности, будем считать, что в этом положении потенциальная энергия равна нулю

П (0,0,…,0) = 0 (в)

(это можно сделать, так как П определяется с точностью до некоторой константы).

Разложим П в ряд Маклорена по степеням :

Здесь точками после квадратной скобки обозначены члены высшего порядка относительно .

Первое слагаемое равно 0 по условию (в). Все коэффициенты первой степени также равны нулю, так как . Коэффициенты при членах второй степени обозначим следующим образом

Эти коэффициенты, называемые обобщёнными коэффициентами жёсткости, вычисляются в положении равновесия при , и, следовательно, всепостоянные числа, причём они симметричны

Учитывая сделанные замечания, получим следующее разложение потенциальной энергии по степеням

( г )

или сокращённо

(15.3)

Для системы с одной степенью свободы

Здесь П(0)=0; , так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремум; четвёртый и последующие члены разложения отбрасываем, так как они содержат члены выше второго порядка малости. Тогда

Предположим, что квадратичная форма определённо положительна. В этом случае вблизи положения равновесия квадратичная часть потенциальной энергии и полная потенциальная энергия будут положительны. Так какП (0) = 0  потенциальная энергия будет иметь в этом положении минимум и, следовательно, положение равновесия устойчиво.

Вопрос о знаке любой квадратичной формы определяется теоремой Сильвестра: для того, чтобы квадратичная форма была определённо положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы квадратичной формы были положительны.

Матрица квадратичной формы (15.3) и её главные диагональные миноры имеют вид:

;

.

Таким образом, критерий определённой положительности квадратичной формы (15.3) будет

Теперь виден порядок применения теоремы Лагранжа-Дирихле: нужно разложить потенциальную энергию в ряд по степеням ограничиваясь членами второго порядка малости, определить обобщённые коэффициенты жёсткостии составить миноры матрицы. Если всето положение равновесия устойчиво.

Теоремы Ляпунова.

Теорема 1. Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия системы в положении равновесия не имеет минимума и отсутствие минимума определяется членами второго порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщённых координат.

Теорема 2. Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет максимум и наличие максимума определяется членами наименьшего порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщённых координат.