Теория колебаний лекция 15д устойчивость равновесия механических систем

1. Выражение кинетической энергии механической системы через обобщённые координаты и обобщённые скорости.

2. Определение устойчивости положения равновесия механической системы.

3. Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости положения равновесия. Критерий Сильвестра. Теоремы Ляпунова.

4. Малые колебания системы около положения устойчивого равновесия.

1. Выражение кинетической энергии механической системы через обобщённые координаты и обобщённые скорости

Если использовать уравнение (14.4) для скорости точки М_i несвободной механической системы

То кинетическую энергию системы можно представить:

Возведём скобку в квадрат и сгруппируем отдельно члены второй, первой и нулевой степени относительно обобщённых скоростей . Обозначив их соответственноТ₂, Т₁, Т₀, получим

(15.1)

где

;

.

Введём обозначения:

.

Тогда функции Т₂ и Т₁ можно записать в следующей форме

Коэффициенты называются обобщённымикоэффициентами инерции и они симметричны относительно своих индексов

Вывод: в общем случае кинетическую энергию механической системы можно представить в виде суммы квадратичной Т₂, линейной Т₁ и нулевой Т₀ форм относительно обобщённых скоростей.

При стационарных связях для движения в инерциальных осях время t не входит явно в выражение радиуса-вектора r_i, поэтому , следовательно обращаются в нуль слагаемыеТ₁ и Т₀ и кинетическая энергия представляет собой квадратичную форму обобщённых скоростей

, (15.2)

коэффициенты которой явным образом не зависят от времени.

Таким образом, если S = 1, то

Кинетическая энергия системы всегда положительна (как сумма произведений положительных величин ), и в ноль она может обратиться только при условии, что система находится в покое. Поэтому квадратичная форма (15.2) всегда определённо положительна.

2. Определение устойчивости положения равновесия механической системы

Определение.

Пусть положение голономной консервативной системы определяется с помощью независимых координат . В этом случае равновесия все обобщённые системы силыQ_i равны нулю. Без нарушения общности можем считать, что рассматриваемое положение системы находится в начале координат

Тогда координаты любого другого положения системы характеризуют отклонение этого положения от положения равновесия и поэтому сими называются отклонениями или возмущениями системы.

Положение равновесия (или состояние равновесия) называется устойчивым, если при достаточно малых начальных отклонениях, и достаточно малых начальных скоростях, система во всё время движения не выходит из пределов сколь угодно малой (наперёд заданной!) окрестности положения равновесия, имея при этом сколь угодно малые скорости. То есть если для любогоможно указать такое, что для всехt  t₀ выполняются неравенства

, ,(а)

если в начальный момент при t = t₀

, ,(б)

Неравенства (а) и (б) удобно геометрически интегрировать в 2S-мерном пространстве состояний . Если начало координатО – устойчивое состояние равновесия и для заданного должным образом подобрано  0, то любое движение, начинающееся в момент t₀ внутри квадрата с центром в О и стороной 2 будет проходить всё время внутри такого же квадрата со стороной .