ЛЕКЦИИ ТЕОРМЕХ / Лек16Д(през)

ЛЕКЦИЯ 16Д

КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

1. Свободные колебания консервативной системы.

2. Свободные колебания неконсервативной системы.

3. Вынужденные колебания.

1. Свободные колебания консервативной системы

Свободные колебания возникают при отсутствии внешнего воздействия (Q(t) = 0). Дифференциальное уравнение движения механической системы в этом случае имеет вид

(16.1)

В случае консервативной системы b = 0, поэтому дифференциальное уравнение движения будет

(16.2)

где

Решение этого уравнения имеет вид

(16 .3)

С₁ и С₂ определим при начальных условиях t = 0; q = q₀; .

C₁ = q₀;

Введём новые произвольные постоянные

и представим решение (16.3) в амплитудной форме

где

Гармоническими называют такие колебания, при которых обобщённая координата изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Таким образом, свободные колебания в линейной консервативной системе с одной степенью свободы являются гармоническими.

Их характеристиками являются:

ω – циклическая (круговая) частота, с-1

ωt + α – фаза колебаний;

α – начальная фаза колебаний;

Т – период колебаний, С

- частота колебаний, с^-1 (Герц)

ω, Т и ν являются изохронными характеристиками колебаний (не зависят от начальных условий). Их называют собственными характеристиками колебаний. Это свойство связано с линейностью дифференциального уравнения и, следовательно, с допущением малости колебаний.

2. Свободные колебания неконсервативной системы

В общем случае дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания неконсервативной системы имеет вид

(16.4)

где ε = b/2а – коэффициент затухания, единица измерения которого (с^-1) совпадает с единицей изменения ω.

Представив решение уравнения (16.4) в виде , получим характеристическое уравнение

корни которого

(16.5)

Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между величинами ε и ω. Возможны следующие три случая:

- при ε  ω – случай малого сопротивления, уравнение (16.5) имеет комплексно-сопряжённые корни;

- при ε = ω – случай критического сопротивления, уравнение (16.5) имеет кратные корни;

- при ε  ω – случай большого сопротивления, уравнение (16.5) имеет два вещественных отрицательных корня.

1)случай малого сопротивления:

ε  ω, ,

Где

Общее уравнение (16.4) будет иметь вид

или

(16.6)

при начальных условиях :

(16.7)

Откуда находим

Рисунок 85

Величину называют условным периодом затухающих колебаний. Т₁  Т.

Величину ω₁ называют условной частотой затухающих колебаний. Величина А ^. е^-εt - условная амплитуда затухающих колебаний.

Декрементом колебаний  называют отношение двух последовательных (взятых через условный период Т₁) амплитудных значений обобщённой координаты

Логарифмическим декрементом колебаний  называют натуральный логарифм от декремента колебаний

Этот коэффициент имеет определённый энергетический смысл. После несложных выкладок можно получить, что

,

где Е_i, E_i+1 – энергия системы в соответствующие моменты времени;

 - коэффициент поглощения энергии за один период колебаний.