Запишем уравнение равновесия элемента mnsq, проецируя все силы на нормаль n к его поверхности:

∑Fn = 0 2σm h dst sin dϕ2m + 2σt h dsm sin d2ϕt − p dst dsm = 0,

где h – толщина стенки; dst, dsm – размеры элемента в окружном и меридиональном направлениях; dϕt, dϕm – центральные углы в окружном и меридиональном направлениях, соответствующие граням элемента.

Учитывая, что ввиду малости углов sin(dϕ/2)≈dϕ/2,

а также, что

dϕt = dst ρt , dϕm = dsm ρm ,

перепишем уравнение равновесия следующим образом:

Это основное уравнение, связывающее напряжения для тонкостенных сосудов вращения, впервые дано Лапласом (уравнение Лапласа).

Второе уравнение получим, рассмотрев равновесие нижней части резервуара с сечением радиуса r, ортогональным к оси вращения сосуда. В этом случае давление жидкости в отрезанной части сосуда p, ее собственный вес Qж и вес самого отсеченного резервуара Qр будут уравновешиваться меридиональными напряжениями на грани отсеченной части:

Данное выражение часто именуется уравнением равновесия зоны или просто уравнением зоны.

Зная уравнение меридиональной кривой можно найти α, r, Qж и Qр, а стало быть и σm.

90