2.2. Методы формализованного представления систем25.

Классификации МФПС. Математика непрерывно развивается. Возникают новые области и математические теории, отмирают или вливаются в другие устаревающие разделы. Исследованием структуры (или, как принято говоритьархитектуры) математики занимаются многие ученые (см., например, [2.2, 2.14, 2.41, 2.26, 2.45, 2.53 и др.]).

Несмотря на то, что в практике моделирования широко используются теория множеств, математическая логика, математическая лингвистика и другие направления современной математики, до сих пор еще не все ученые-математики склонны включать в число математических некоторые из этих направлений. Благодаря работам французских ученых (публикующихся под псевдонимом Н.Бурбаки [2.6]), теорию множеств и математическую логику стали признавать разделами математики, а математическую лингвистику и семиотику часто еще не относят к математике. Поэтому, чтобы не обсуждать различные точки зрения (которые постепенно изменяются, развиваются), вместо термина "математические методы" удобнее применять предложенный в [2.11] термин "методы формализованного представления систем".

В большинстве первоначально применявшихся при исследовании систем классификаций выделяли детерминированныеивероятностные(статистические) методы или классы моделей, которые сформировались в конце прошлого столетия.

Затем появились классификации, в которых в самостоятельные классы выделились теоретико-множественныепредставления,графы,математическая логикаи некоторые новые разделы математики. Например, в классификации современного математического аппарата инженера В.П.Сигорский [7] выделяются:множества,матрицы,графы,логика,вероятности.

В одной из первых классификаций, предложенных специально для целей системных исследований украинским академиком А.И.Кухтенко [2.28], наряду с выделением таких уровней математического абстрагирования, как общеалгебраический,теоретико-множественный,логико-лингвистический, предлагается рассматриватьинформационныйиэвристическийуровни изучения сложных систем.

Имеются и другие классификации ( см., например, [2.47]).

В данном учебнике принята и кратко характеризуется классификация Ф.Е.Темникова, предложенная в [2.11], в которой выделяются следующие обобщенные группы (классы) методов (табл. 2.1):аналитические(методы классической математики, включая интегро-дифференциальное исчисление, методы поиска экстремумов функций, вариационное исчисление и т. п.; методы математического программирования; первые работы по теории игр и т. п.);статистические(включающее и теоретические разделы математики - теорию вероятностей, математическую статистику, и направления прикладной математики, использующие стохастические представления - теорию массового обслуживания, методы статистических испытаний (основанные на методе Монте-Карло), методы выдвижения и проверки статистических гипотез А.Вальда и другие методы статистического имитационного-моделирования);теоретико-множественные,логические,лингвистические,семиотические представления (методы дискретной математики), составляющие теоретическую основу разработки языков моделирования, автоматизации проектирования, информационно-поисковых языков;графические(включающие теорию графов и разного рода графические представления информации типа диаграмм, гистограмм и других графиков).

Разумеется, в табл. 2.1 приведены лишь укрупненные группы-направления, конкретные методы которых только в начальный период развития характеризуются рассмотренными особенностями. Эти направления непрерывно развиваются, и в их рамках появляются методы с расширенными возможностями по сравнению с исходными.

Кроме того, в математике постоянно возникают новые направления как бы "на пересечении" методов, отнесенных к приведенным укрупненным группам. В частности, на пересечении аналитических и теоретико-множественных представлений возникла и развивается алгебра групп; параллельно в рамках алгебры групп и теории множеств начала развиваться комбинаторика - теоретико-множественные и графические представления стали основой возникновениятопологии; статистические и теоретико-множественные методы инициировали возникновение теории "размытых" множеств Л.Заде [3.7], которая, в свою очередь, явилась началом развития нового направления -нечетких формализации²⁶ и т. д.

Отметим, что понятия исходных направлений не всегда сохраняются в неизменном виде, в частности, в теории Заде дается иная трактовка понятия вероятности по сравнению со статистической.

Практически невозможно создать единую классификацию, которая включала бы все разделы современной математики. В то же время приведенные направления помогают понять особенности конкретных методов, использующие средства того или иного направления или их сочетания, помогают выбирать методы для конкретных приложений.

Таблица 2. 1

Название класса методов и символический «образ»	Основная терминология и примеры теорий, возникших и развивающихся на базе соответствующего класса методов	Сфера и возможности применения
1	2	3
Аналитические методы	Аналитическиминазваны здесь методы, в которых ряд свойств многомерной, многосвязной системы (или какой-либо ее части) отображается в n-мермом пространстве одной единственной точкой, совершающей какое-то движение. Это отображение осуществляется либо с помощью функции, либо посредством оператора (функционала). Можно также две или более системы либо их части отобразить точками и рассматривать взаимодействие этих точек, каждая из которых совершает какое-то движение, имеет свое поведение. Поведение точек и их взаимодействие описываются аналитическими закономерностями. Основу понятийного (терминологического) аппарата составляют понятия классической математики и некоторых новых ее разделов (величина, функция, уравнение, система уравненийи т. п.). На базе аналитических представлений возникли и развиваются математические теории различной сложности - от аппарата классического математического анализа (методов исследования экстремумов функций, вариационного исчисления и т. п.) до таких разделов современной математики, как математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое и т. п.), теория игр (матричные игры с чистыми стратегиями, дифференциальные игры).	Применяются в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или зависимостей, т. е. когда знания о процессах и событиях в некотором интервале времени позволяют полностью определить поведение их вне этого интервала. Эти методы используются при решении задач движения н устойчивости, оптимального размещения, распределения работ и ресурсов, выбора наилучшего пути, оптимальной стратегии поведения в конфликтных ситуациях и т. п. Математические теории, развивающиеся на базе аналитических представлений, явились основой ряда прикладных теорий (теории автоматического управления, теории оптимальных решений и др.). При практическом применении аналитических представлений для отображения сложных систем следует иметь в виду, что они требуют установления всех детерминированных взаимосвязей между учитываемыми компонентами и целями системы в виде аналитических зависимостей. Для сложных многокомпонентных, многокритериальных систем получить требуемые аналитические зависимости очень трудно. Более того, если даже это и удастся, то практически невозможно доказать правомерность применении этих аналитических выражений т. е. адекватность модели рассматриваемой задачи.
Статистические методы	В тех случаях, когда не удается представить систему с помощью детерминированных категорий, можно применить отображение ее с помощью случайных (стохастических) события, процессов, которые описываются соответствующими вероятностными (статистическими) характеристиками истатистическими закономерностями. Статистическиеотображения системы в общем случае (по аналогии с аналитическими) можно представить как бы в виде «размытой» точки (размытой области) вn-мерном пространстве, в которую переводит систему (ее учитываемые свойства) оператор. «Размытую» точку следует понимать как некоторую область, характеризующую движение системы (ее поведение); при этом границы области заданы с некоторой вероятностью («размыты») и движение точки определяется некоторой случайной функцией. Закрепляя все параметры, кроме одного, можно получить срез по линиa-b, физический смысл которого - воздействие данного параметра на поведение системы, что можно описать статистическим распределением по этому параметру. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т. д. картины статистического распределения. На статистических отображениях базируются теории математической статистики, теория статистических испытаний или статистического имитационного моделирования (частным случаем которой является метол Монте-Карло), теория выдвижения и проверки статистических гипотез (частным случаем которой является байесовский подход к исследованию процессов передачи информации в процессах общения, обучения и других ситуациях, характерных для сложных развивающихся систем)	Статистические отображения позволили расширить области применения ряда дисциплин, возникших на базе аналитических представлений. Так возникли статистическая теория распознавания образов,стохастическое программирование, новые разделы теории игр и др. На базе статистических представлений возникли и развиваются такие прикладные направления, кактеория массового обслуживания,теория статистического анализаи др. Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при применении статистических представлений процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми событиями или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочного исследования (исследования представительней выборки) получать статистические закономерности и распространять их на поведение системы в целом. Однако не всегда можно получить статистические закономерности, не всегда может быть определена представительная (репрезентативная) выборка, доказана правомерность применения статистических закономерностей. В ряде случаев для получений статистических закономерностей требуются недопустимо большие затраты времени, что также ограничивает возможности их применения

1С. Лем. Сумма технологий. - М: Мир, 1968. - С. 208.

2Совершенствование хозяйственного механизма: Сб. документов. - М.: Изд-во Правда, 1982.-251 с.

3БСЭ. Изд. 2-е. – Т. 39. – С 158.

4Такого вида форма записи называется в математической лингвистике синтагмой (см. гл. 2)

5 Философский словарь. Изд. 4-е. – М.: Политиздат. 1980. – С. 329

6Вопросы философии. 1980.– № 6.– С, 62÷78.

7БСЭ. Изд. 2-е. – Т. 39. – С. 158.

8БСЭ. Им. 2-е. - Т. 46. – С. 498.

9БСЭ. Им. 2-е. - Т. 41. – С. 154.

10БСЭ. Изд. 2-е. – Т. 11. – С. 343.

11Н.Доризо. У статуи Венеры. – В сб.: Избранное. – М.: Гос. худ. лит., 1965. – С. 9.

12После ознакомления с закономерностями студентам рекомендуйся составить таблицу особенностей и закономерностей, их объясняющих.

13В. А. Энгельгардт. О некоторых атрибутах жизни: иерархия, интеграция, узнаваний // Вопросы философии. - 1976 - №7 - С 65+81

14Организация систем управления созданием и развитием технической продукции: Методические рекомендации /М. М. Четвертаков и др. — Л.: ЦНИИ "Румб", 1981.-96 с.)

15например, в электромагнитных полях эти тенденции выявил ленинградский ученый А.В.Левит.

16Этот термин и выбран нами для характеристики рассматриваемой закономерности. Однако отметим, что он не вполне точно отражает "дуализм" энтропийно-негэнтропийных тенденций в развивающихся системах. Возможно, что в дальнейшем при развитии теории систем для этой закономерности будет найдено более точное название

17Две первых закономерности сформулированы Л.А. Растрипшым и П.С. Граве [4.8, 4.21]).

18Впервые эту мысль высказал Ю.И.Черняк [1.55, 13], и она вначале вызвала резкое непонимание, но впоследствии была учтена при проведении реформ 70-х гг. (см. 4.1 в гл. 4)

19Закономерность сформулирована одним из авторов ([1.49, 9, 4.2] и др.)).

20Такое "расщепление" цели предложил Л.А. Растригин [4.8, 4.211]).

21См. напр. Ж Адамар Исследование психологии процесса изобретения, М. Сов. радио 1977

22Ивин АЛ.. Строгий мир логики М. Педагогика. 1988 - С. 525

23Системный анализ иногда определяют как формализованный здравый смысл" или "здравый смысл на службу котором поставлены математические методы" [1.25]

24В СПбГТУ это направление развивается профессором Л В Федотовым применительно к системам управления вузом и другими социально-экономическими объектами [2 49-2.51 8. 9 и др.].

25Параграф подготовлен совместно с доктором технических наук, профессором Московского энергетического института Ф.Е.Темниковым.

26В СПбГТУ это направление развивает в рамках теории многокритериальной оптимизации доктор физико-математических наук профессор кафедры математики В.Д.Ногин (см., например, [2 66]); а применительно к анализу энергетических систем - профессор Факультета экономики и менеджмента Э М Косматое [2.31])