3 Построение системы автоматического управления

3.1 Математическое моделирование системы управления

Система регулирования температуры конденсата после статора изображена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1–Система регулирования температуры конденсата

На выходе объекта управления контролируется температура конденсата, выходная величина сравнивается с заданной, сигнал рассогласования поступает на вход ПИ-регулятора.

Математическое моделирование системы управления осуществляем среде MathCAD.

Если в качестве критериев оптимальности принимать интегральные оценки, то минимум этих критериев для системы с ПИ - регулятором достигается при условии, когда отношение коэффициента регулирования ко времени интегрирования kp/Tи - максимально. Но с другой стороны, с ростом этого соотношения увеличивается колебательность переходного процесса в системе, вплоть до потери устойчивости (для систем третьего порядка и выше).

Чтобы ограничить колебательность переходного процесса вводят дополнительные ограничения, например, на максимально допустимое значение корневого показателя колебательности m.

В этом случае колебательность процесса ограничивается величиной m, а длительность переходного процесса, тем меньше, чем больше соотношение kp/Tи. В условиях ограничения на величину m отыскание оптимальных параметров настройки ПИ-регулятора производят методом расширенной амплитудофазо-частотной характеристики АФЧХ.

Основу метода составляет обобщенный критерий Найквиста: разомкнутая линейная система, имеющая корневой показатель колебательности не хуже m, сохранит его и после замыкания отрицательной обратной связью, если расширенная АФЧХ разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку (-1;j0):

где:

- передаточная функция разомкнутой системы.

Передаточная функцию объекта управления:

Передаточная функцию ПИ-регулятора как функция пока еще неизвестных параметров kp и Tи - коэффициента передачи и постоянной времени интегрирования регулятора:

Корневой показатель колебательности:

m = 1

Расширенная передаточная функция системы:

Действительные и мнимые части расширенной АФЧХ:

Для нахождения оптимальных настроек регулятора необходимо решить систему уравнений с помощью процедуры Given и Find. Зададим некоторые ограничения для решения Re = -1, Im = 0 (для устойчивой системы)

Аргумент w в этой функции необходим для того, чтобы при работе процедуры Given, которая будет использоваться для решения системы уравнений, изменялись значения не только параметров Tи и kp, но и значения частоты w, при которой расширенная АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1; j0). Эта частота должна изменятся в процессе работы процедуры Given, так как заранее она не известна. Вообще, чем больше частота w, тем меньше переходного процесса в замкнутой системе.

Начальные приближения подбираемых параметров и частоты: w = 0,01, kp = -1, Tи = 1.

Получили систему уравнений:

В результате решения системы уравнений получили оптимальные параметры настройки регулятора:

Kp = 0,128

Tи = 1,995

Передаточная функция регулятора примет вид:

Чтобы убедится в правильности полученных результатов, строится РАФЧХ системы, представленная на рисунке 3.2:

Рисунок 3.2 - РАФЧХ системы

Из графика видно, что АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1; j0), следовательно, система является устойчивой, а колебательный процесс затухающим.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Переходная характеристика определяется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции деленное на р.

Для обратного преобразования Лапласа используется процедура invlaplace:

Строим переходную характеристику:

Рисунок 3.3 – Переходная характеристика