Лабораторная работа N9

Определение длины и скорости распространения электромагнитных волн методом стоячей волны

1. Цель работы

Определение длины электромагнитных волн и скорости их распространения в воздухе. Для нахождения этих величин осуществляется экспериментальное получение стоячих волн в двухпроводной системе Лехера.

2. Теория вопроса

Как и все электромагнитные процессы, распространение тока и напряжения по проводам при включении цепи (вообще - при изменении напряжения (t) на входе) происходит не мгновенно, а с конечной скоростью. На поверхности проводов за конечное время накапливаются заряды, создающие электростатическое поле вдоль проводов: это поле и вызывает ток. С другой стороны, ток вызывает магнитное поле, а оно обладает определенной энергией, которая также не может изменяться мгновенно. Прежде чем изучать эти взаимные превращения электрического и магнитного полей в длинной двухпроводной линии, необходимо предварительно рассмотреть статические поля в этой линии - электрическое и магнитное.

Рассмотрим отрезок двухпроводной линии (рис.9.1), длина x которого больше, чем расстояние d между проводами и в то же время достаточ-но мала, чтобы на данном отрезке линии можно было бы считать малым изменение тока I в проводах и изменение напряжения U между проводами. При этом будем считать, что радиус R каждого из проводов много меньше, чем расстояние d между проводами. Более того, будем считать, что

ln (d/R)  1 (9.1)

Рис. 9.1. Отрезок двухпроводной линии.

Изображенная на рис. 9.1 пара проводников длиной  x каждый образует конденсатор с зарядом  Q, напряжением U между обкладками электроемкостью

и током заряда

С другой стороны каждый из рассматриваемых проводников является индуктивностью с током I, напряжением U/2 на концах проводника и индуктивностью L/2, удовлетворяющей закону Фарадея для электромагнитной индукции

Величины C и  L пропорциональны длине  x рассматриваемого участка линии

 C = C₁  x ,  L= L₁  x , (9.5)

где C_1, L₁ - удельные электроемкость и удельная индуктивность двухпроводной линии, т.е. электроемкость и индуктивность одного метра линии.

2.1. Волны в двухпроводной линии

2.1.1. Телеграфные уравнения

Изменение тока  I в начале и в конце линии можно представить как

Из формул (9.2) и (9.5) следует: Q=U C= UC₁ x , тогда формула (9.6) примет вид:

Это так называемое телеграфное уравнение для скорости изменения напряжения в линии.

Изменение напряжения U между правыми концами рассматриваемого участка линии с координатой (x + x) запишется:

а учитывая уравнение (9.5), получим телеграфное уравнение для скорости изменения тока в линии:

2.1.2. Волновое уравнение

Из уравнения (9.7) вторая производная

²U 1 ²U

—— = - ——  ——. (9.9)

 t² L₁ C₁ x²

Аналогичным образом можно получить подобное уравнение для тока

²I 1 ² I

—— = - ——  ——. (9.10)

 t² L₁ C₁ x²

Для двухпроводной линии

1 1

—— = ———— .

L₁ C₁  ₀₀ 

Из электродинамики известно, что

1

—— = c = 3 10⁸ м/с - cкорость электромагнитных волн в вакууме.

= n - относительный показатель преломления среды.

1 c

————— = — = v - фазовая скорость элекромагнитных волн в среде.

n

Очевидно, что

1 1 1

—— = ———— = v² ; v = —— (9.11)

L₁C₁ ₀₀ 

Уравнения (9.9) и (9.10) с учетом (9.11) примут вид:

²U 1 ²U

—— = - ——  —— (9.12)

 t² v ² x²

²I 1 ² I

—— = - ——  —— (9.13)

 t² v ² x²

Последние соотношения - это дифференциальные уравнения одномерных волн напряжения U (электрических волн) и волн тока I (магнитных волн), распространяющихся вдоль оси Х, т.е. вдоль линии.

Решениями уравнений (9.12) и (9.13) являются уравнения плоских бегущих волн напряжения и тока (это проверяется методом подстановки).

Уравнения прямых (падающих) волн:

электрическая волна

x

U = U₀ Sin  ( t - ——) , (9.14)

v

магнитная волна

x

I = I₀ Sin  ( t - ——) . (9.15)

v

Начальную фазу для прямых волн, движущихся в положительном направлении оси Х, полагаем равной нулю.

Уравнения обратных (отраженных) волн:

x

U’ = U₀’ sin [( t + ——) + ] , (9.16)

v

x

I’ = -I₀’ sin [( t + ——) + ] . (9.17)

v

Знак "-" означает, что ток идет в обратном направлении