Лабораторная работа n2 Изучение электростатического поля

1. Цель работы

Целью данной работы является исследование электростатического поля между двумя заряженными проводниками (электродами) и графическое изображение его при помощи силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

2. Теория вопроса

Согласно представлениям современной физики всякое взаимодействие передается через некоторое поле. Электрические заряды взаимодействуют через электромагнитное поле.

Электромагнитное поле – это особая форма существования материи.

Электростатическое поле является разновидностью электромагнитного поля. Оно образуется неподвижными в пространстве заряженными телами.

Электрические и магнитные поля представляют собой математические понятия, упрощающие вычисления и облегчающие понимание многих физических явлений. Свойства электрического поля изучают на основании тех закономерностей, которым подчиняются силы, действующие со стороны поля на заряды.

Напряженностью электрического поля в какой-либо точке пространства называется сила, действующая на небольшой пробный заряд q₀ и деленная на величину этого заряда:

, (2.1)

где F – электростатическая сила, действующая на заряд q₀;

q₀ – пробный электрический заряд.

Под пробным точечным зарядом понимают положительный заряд, величина которого настолько мала, что своим действием не может заметно изменить исследуемое поле. По направлению напряженность поля совпадает с направлением силы. Таким образом напряженность является силовой характеристикой поля.

Определим напряженность электрического поля E, создаваемого изолированным точечным зарядом q в точке, отстоящей от заряда на расстоянии r. Согласно закону Кулона, на пробный заряд q₀, помещенный на расстоянии r от заряда q, действует сила

. (2.2)

Напряженность поля Е в точке, где находится заряд q₀, мы получим, поделив силу F на q₀.

. (2.3)

Это и есть величина напряженности электрического поля, создаваемого изолированным точечным зарядом q на расстоянии r. Во многих физических задачах мы сталкиваемся с несколькими точечными зарядами или с непрерывным распределением зарядов. В этом случае напряженность электрического поля Е в любой данной точке будет представлять собой геометрическую сумму напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Это положение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей:

. (2.4)

Направление векторов напряженности электрического поля Е во всем пространстве можно изобразить с помощью непрерывных линий, или линий напряженности. Линией напряженности называется линия, проведенная в электрическом поле так, что касательная в любой ее точке совпадает по направлению с вектором напряженности в этой точке. Силовые линии могут служить мощным и вполне надежным орудием количественного математического анализа. Используя силовые линии, можно вывести и доказать ряд положений, которые иначе потребовали бы применения интегрального исчисления. Силовые линии имеют начало на положительных зарядах (или в бесконечности) и оканчиваются на отрицательных зарядах (или в бесконечности). На рис.2.1 - 2.3 приведено графическое изображение полей, образованных системой зарядов.

Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3

Так как напряженность поля является однозначной функцией для каждой точки поля, то силовые линии поля не пересекаются. Через любую точку поля может быть проведена только одна силовая линия. Перечислим ряд положений, которые можно доказать, воспользовавшись силовыми линиями:

1. Напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой вне ее .

2. Напряженность электрического поля Е внутри равномерно заряженной сферической или цилиндрической оболочки равна нулю.

3. Напряженность электрического поля Е внутри проводника повсюду равна нулю.

4. Избыточные заряды могут располагаться только на внешней поверхности проводника.

5. Напряженность электрического поля, создаваемого цилиндрическим или линейным распределением заряда с плотностью  (Кл/м), , гдеr – расстояние от оси.

6. Напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной плоскостью с плотностью зарядов  (Кл/м²), .

7. Напряженность электрического поля между двумя пластинами конденсатора с одинаковой по абсолютному значению поверхностной плотностью  зарядов 

При использовании силовых линий для количественных вычислений необходимо, чтобы число силовых линий, проходящих через квадратный метр, численно равнялось напряженности электрического поля в данном месте. Тогда по густоте линий напряженности можно судить о величине напряженности поля .

Определим работу, которая совершается силами поля неподвижного точечного заряда q при перемещении в этом поле пробного заряда q₀ из точки 1 в точку 2 (рис.2.4). Выделим на траектории движения заряда q₀ бесконечно малый отрезок этой траектории dl, при перемещении по которому величина действующей силы F оставалась бы постоянной по величине и направлению (F=q₀ E ). При перемещении заряда q₀ в поле на отрезке dl эта сила будет совершать элементарную работу

dA = F dl cos . (2.5)

Подставив в выражение (2.5) значение силы (2.2) и учитывая, что dl cos =dr (рис.2.4), получим

. (2.6)

Полная работа переноса заряда из точки 1 в точку 2

. (2.7)

Сила является центральной. Центральное поле сил консервативно. Следовательно, работа, которая совершается силами поля над зарядом при перемещении его из одной точки в другую, не зависит от формы пути, а является функцией начального r₁ и конечного r₂ расстояний между зарядами. Силовое поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным полем. Работа сил консервативного (потенциального) поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии,

A_1,2 = W_П1 - W_П2. (2.8)

Сопоставление формул (2.7) и (2.8) приводит к следующему выражению для потенциальной энергии заряда q₀ в поле заряда q:

 (2.9)

Значение константы в выражении потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда в бесконечность (r = ) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что

. (2.10)

Разные пробные заряды будет обладать в одной и той же точке поля различной потенциальной энергией. Однако отношение W_n /q₀ будет для всех зарядов одно и то же и, следовательно, может служить характеристикой поля. Это отношение называется потенциалом электростатического поля в данной точке:

Рис. 2.4

. (2.11) Потенциал - величина скалярная и является энергетической характеристикой поля. Пользуясь понятием потенциала, работу сил электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 и 2 можно выразить следующим образом: A1,2 = WП1 - WП2 = q0 (1 - 2), (2.12) где 1 и 2 - потенциал в 1-й и 2-й точках поля. В СИ за единицу потенциала и разности потенциалов принят вольт. .

В атомной и ядерной физике часто пользуются единицей энергии и работы, называемой электрон-вольтом (эВ). 1эВ = 1,60  10^-19 Кл  1В = 1,60  10^-19 Дж .

Если электрическое поле создается системой зарядов, то потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

. (2.13)

Потенциал электростатического поля представляет собой функцию, непрерывно меняющуюся от точки к точке. Однако во всяком поле можно выделить совокупность точек, потенциалы которых одинаковы. Геометрическое место точек одинакового потенциала называют поверхностью уровня потенциала или эквипотенциальной поверхностью. Пользуясь эквипотенциальными поверхностями (линиями), можно любое поле изобразить графически, подобно тому, как это делается с помощью силовых линий. Так как все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, то работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это значит, что электрические силы действующие на заряд всегда направлены по нормалям к поверхности равного потенциала. Отсюда следует, что силовые линии всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Установим связь между напряженностью электрического поля и потенциалом. Существование такой связи следует из того, что работа электрических сил может быть выражена двояко - через разность потенциалов и напряженность поля. Проведем в произвольном электрическом поле две бесконечно близкие эквипотенциальные поверхности с потенциалами  и +d; пусть d>0 (рис.2.5). Из некоторой точки 1 поверхности уровня потенциала  проведем нормаль n до пересечения с поверхностью уровня +d обозначим точку пересечения 2. Расстояние между точками 1 и 2 пусть будет равно dl. Напряженность поля Е перпендикулярна к эквипотенциальным поверхностям, т.е. она направлена вдоль нормали n. Так как отрезок мал, то можно положить, что напряженность поля Е = соnst. Тогда работа поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:

dA = F dl =q₀ E dl . (2.13)

С другой стороны, та же работа может быть выражена через разность потенциалов точек 1 и 2:

dA = q₀[ - ( + d)] = - q₀ d . (2.14)

Рис. 2.5

Сравнивая (2.13) и (2.14), получаем следующее выражение: . (2.15) Эта величина характеризует быстроту изменения потенциала в пространстве и носит название градиента потенциала. Градиент есть вектор, направленный по нормали к поверхности. Знак "минус" в формуле (2.15) показывает, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону убывания потенциала. Таким образом, напряженность в какой - либо точке электрического поля равна "минус" градиенту потенциала в этой точке. E = - grad  . (2.16)

Формула (2.16) позволяет по известным значениям потенциала найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по заданным значениям напряженности Е в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля.

. (2.17)

Причем под d следует понимать в этом случае проекцию расстояния между точками 1 и 2 на направление вектора Е (рис 2.6).