Лабораторная работа n8 изучение процессов в колебательном контуре

1. Цель работы. Изучение электрических затухающих и вынужденных колебаний, возникающих в колебательном контуре.

2.Теория вопроса . Электрические колебания могут возникать в цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора емкости C, катушки индуктивности L и активного сопротивления R (рис.8.1).

Рис.8.1

Такую цепь называют колебательным контуром. Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре с активным сопротивлением, равным нулю (рис.8.2). Если при разомкнутом ключе К конденсатор зарядить от постороннего источника тока до разности потенциалов, то на его обкладках возникнут разноименные

электрические заряды, а между обкладками будет существовать электрическое поле напряженности Е (положение 1). Замкнем ключ. Конденсатор начнет разряжаться, напряженность электрического поля будет уменьшаться, а в цепи возникнет нарастающей силы электрический ток, который в катушке индуктивности создаст магнитное поле с индукцией В. Нарастающее магнитное поле вызывает появление ЭДС самоиндукции, препятствующей движению зарядов, поэтому сила тока в контуре увеличивается постепенно и достигает максимальной величины в тот момент, когда конденсатор полностью разрядится. В этот момент наибольшего значения достигнет индукция магнитного поля, энергия же электрического поля обратится в нуль (положение II, рис.8.2).

Рис.8.2

В дальнейшем сила тока уменьшается, убывает индукция магнитного поля и возникает ЭДС самоиндукции, поддерживающая ток прежнего направления. Когда индукция магнитного поля уменьшится до нуля, ток прекратится, но обкладки конденсатора окажутся заряженными противоположно тому, как они были заряжены вначале. Система придет в положение III, которое отличается от положения I только тем, что электрическое поле в конденсаторе имеет противоположное направление. Снова произойдет разряд конденсатора, в контуре возникнет электрический ток, система придет в положение IV и от него в исходное состояние I. Затем процесс повторяется.

В ходе описанного процесса периодически изменяются (т.е. колеблются) напряжение на конденсаторе U_C, заряд Q на обкладках, сила тока i в контуре. Колебания этих величин сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Рассмотренные электрические колебания происходят под действием процессов в самом колебательном контуре и называются свободными (или собственными).

В идеализированном контуре, активное сопротивление которого равно нулю, отсутствуют потери на нагревание проводников и нет излучения энергии в окружающее пространство, поэтому процесс периодического превращения электрической энергии в магнитную и обратно будет продолжаться неограниченно долго. В этом случае зависимости колеблющихся электрических величин от времени представляются гармоническими функциями синуса или косинуса. Такие колебания напряжения, заряда, силы тока в контуре при отсутствии потерь энергии называют свободными незатухающими электрическими колебаниями.

На практике незатухающие колебания получить невозможно, так как часть энергии контура тратится на выделение тепла в проводниках, часть энергии излучается в пространство в виде электромагнитных волн. В реальном контуре колебания всегда будут затухающими.

Рассмотрим характер изменения заряда для случая затухающих электрических колебаний. Если Q - заряд, сообщенный одной из обкладок конденсатора, то силу тока i можно представить следующим образом:

. (8.1)

Если размеры электрической цепи не слишком велики, а L и C не слишком малы, то можно считать, что в каждый момент времени во всех сечениях цепи одинаковы мгновенные значения силы тока. В этом случае к цепи переменного тока можно применять законы, установленные для цепей постоянного тока.

Предположим, что U - разность потенциалов на обкладках конденсатора в данный момент времени, тогда по второму правилу Кирхгофа сумма падений напряжения в рассматриваемой цепи U + iR равна действующей в контуре ЭДС. Но единственной в контуре будет ЭДС самоиндукции

.

Тогда по второму правилу Кирхгофа

. (8.2)

По определению электрической емкости . (8.3)

Используя формулы (8.1) и (8.3), выражение (8.2) можно записать в виде:

или (8.4)

Обозначим и, тогда формула (8.4) примет вид:

Решением этого однородного дифференциального уравнения будет функция:

, (8.5)

где , (8.6)

. (8.7)

Выражение (8.5) показывает, что заряд Q на обкладках конденсатора со временем изменяется по закону косинуса, т.е. колеблется с циклической частотой и с убывающей во времени по экспоненциальному закону амплитудой .

В формулах (8.5), (8.6), (8.7): Q₀ - наибольшее значение заряда на обкладках конденсатора (величина заряда при t = 0), т.е. амплитуда колебаний в начальный момент времени; - коэффициент затухания колебаний; - начальная фаза колебаний; ₀ - циклическая частота собственных незатухающих колебаний.

Период затухающих колебаний T может быть определен через циклическую частоту . (8.8)

Из полученного решения (8.5), используя (8.1) и (8.3), можно найти закон изменения со временем напряжения на конденсаторе и силы тока в контуре:

,

.

График зависимости Q(t), определяемой уравнением (8.5), представлен на рис.8.3.

Если омическое сопротивление R контура велико, то электрические колебания могут и не возникнуть. Так, если , то решение, отвечающее периодическим колебаниям заряда, невозможно. В этом случае произойдет апериодический разряд конденсатора, в колебательном контуре потечет экспоненциально убывающий ток одного направления.

Степень затухания колебаний определяется коэффициентом затухания. Физический смысл этой величины можно установить, если ввести понятие времени релаксации. Временем релаксации называют промежуток времени, за который величина заряда, силы тока или напряжения уменьшается в e раз (где е - основание натуральных логарифмов).

Рис.8.3

По определению времени релаксации отношение величин зарядов, например в моменты времени t и t +  , но , следовательно, Таким образом, , т.е. коэффициент затухания есть величина, обратная времени релаксации, т.е. времени, в течение которого амплитудное значение заряда, силы тока, напряжения убывает ве раз.

Степень затухания колебаний может быть охарактеризована также логарифмическим декрементом затухания. Логарифмический декремент затухания - это натуральный логарифм отношения двух величин заряда (силы тока или напряжения) через промежуток времени, равный периоду:

. (8.10)

Выражение (8.10) можно преобразовать

, или .

Но  / T есть число колебаний, после совершения которых амплитудное значение электрической величины уменьшится в е раз.

Таким образом логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, в течение которых амплитуда колеблющейся величины убывает в е раз. Показатель затухания характеризует изменение амплитуды за одну секунду, а логарифмический декремент затухания за один период.

Вынужденные колебания

Для получения незатухающих электрических колебаний необходимо извне подводить энергию, компенсирующую потери на нагревание и излучение. В этом случае в цепь колебательного контура включают источник тока с периодически изменяющейся ЭДС (рис.8.4):

U = U₀sint, (8.11)

где  - циклическая частота переменного напряжения.

Электрические колебания в контуре, которые возникают под действием переменного напряжения, поданного в контур, называются вынужденными электрическими колебаниями. Применение второго правила Кирхгофа в этом случае дает дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

.

Рис.8.4

Частное решение этого уравнения имеет вид: Q = Q0 cos( t +). (8.12) U = U0sint Функцией (8.12) описывают установившиеся вынужденные колебания заряда, которые будут происходить с частотой, равной частоте изменения подведенного к контуру напряжения и независящей от параметров R, L, C контура.

Продифференцировав функцию (8.12) по времени, можно найти закон изменения со временем силы тока в установившемся режиме:

i = - i₀sin(₀t + ),

где i₀ - амплитудное значение силы тока, равное

, (8.13)

 - начальная фаза, определяемая из выражения

. (8.14)

Формула (8.13) может рассматриваться как закон Ома для мгновенных амплитудных значений силы тока и напряжения в цепи переменного тока:

, где (8.15)

называется полным сопротивлением цепи. Величина называется реактивным сопротивлением,- индуктивным, а- емкостным сопротивлением. Переменный ток, возникающий в контуре, изображенном на рис.8.4, при подаче переменного напряженияU, вызовет на участках контура падения напряжений U_R, U_C, U_L. Соотношение этих напряжений можно представить с помощью векторной диаграммы. Положим, что сила тока в цепи изменяется по закону i = i₀sin t.

Рис.8.5

Выберем произвольное направление, которое назовем осью токов (рис.8.5). Будем изображать все падения напряжений в контуре с помощью векторов амплитуд этих напряжений, направленных к оси токов под углом, численно равным разности фаз между соответствующим напряжением и силой тока в контуре. Напряжение на активном сопротивлении R изменяется во времени синфазно с силой тока, поэтому вектор напряжения

U_R будет направлен по оси токов, а длина его равна i₀R. Падение напряжения на катушке индуктивности

и опережает по фазе силу тока, текущего через катушку индуктивности на /2 , поэтому вектор амплитуды напряжения на индуктивности по длине равен L i₀ и направлен под углом +/2 к оси токов.

Падение напряжения на конденсаторе с емкостью C

и отстает от силы тока на /2.

Вектор амплитуды этого напряжения направлен под углом -/2 к оси токов. Падения напряжений U_R, U_C, U_L в сумме должны быть равны приложенному к контуру напряжению U, поэтому сложив геометрически векторы, изображающие U_R, U_C, U_L, получим вектор, изображающий U с длиной U₀ и направленный под углом, численно равным начальной фазе  . Как видно из векторной диаграммы (рис.8.5), tg определяется выражением (8.14), амплитудное значение силы тока i₀ выражением (8.13).

Резонанс напряжений

Рассмотрим цепь, составленную из последовательно соединенных конденсатора емкости C, катушки индуктивности L и активного сопротивления R (рис.8.4). Подадим в цепь напряжение, периодически изменяющееся с частотой . Как показано выше, в цепи возникает электрический переменный ток той же частоты, амплитуда и фаза которого определяются по формулам (8.13) и (8.14).

Если изменять частоту  или параметры контура L и C, то реактивное сопротивление может обратиться в нуль. При удовлетворяющей этому условию частоте (8.16)

полное сопротивление цепи Z имеет наименьшее, возможное при данных R, L и C, значение Z = R. Соответственно амплитуда силы тока достигает (см. формулу 8.13) максимального значения: .

Рис.8.6 Рис.8.7

Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в колебательном контуре при приближении частоты приложенного напряжения к частоте собственных колебаний называется электрическим резонансом, а частота, определяемая формулой (8.16), - резонансной частотой. Зависимость амплитудного значения силы тока i0 от частоты  приложенного напряжения графически изображена на рис.8.6, где приведенные три кривые соответствуют трем различным значениям активного сопротивления.. Чем меньше активное сопротивление контура, тем больше при прочих равных условиях сила резонансного тока и острее максимум резонансной кривой. Рассмотренный случай электрического резонанса в контуре, состоящем из последовательно соединенных элементов, характеризуется тем, что падение напряжения на активном

сопротивлении равно внешнему приложенному, сдвиг фаз  = 0 (см. формулу (8.14)), а падение напряжения на емкости U_C и на индуктивности U_L одинаковы по амплитуде

,

и противоположны по фазе.

При этом амплитуды напряжений на емкости и индуктивности могут быть значительно больше амплитуды внешнего приложенного напряжения. Этот случай резонанса называется резонансом напряжений. Векторная диаграмма напряжений для резонанса напряжений показана на рис.8.7.

Резонанс токов

Рассмотрим цепь, состоящую из параллельно соединенных ветвей (рис.8.8), одна из которых содержит конденсатор емкости C, другая - катушку индуктивности L и активное сопротивление R. Между точками А и В приложено переменное напряжение, изменяющееся по закону: i = i₀sin t.

Рис.8.8

В рассматриваемом случае силы токов в ветвях будут i1 = U0 c sin( t + 1) , (8.17) , где - емкостное сопротивление первой ветви, а-

сопротивление второй ветви, содержащей активное сопротивление R и индуктивное сопротивление L. Согласно (8.14),

а следовательно, ₁ = /2 и сила тока в ветви с конденсатором опережает напряжение по фазе на /2. Если активное сопротивление мало и им можно пренебречь, то ₁ = /2 и сила тока в ветви с катушкой индуктивности отстает по фазе от напряжения на /2. Если активным сопротивлением пренебречь нельзя, то отставание по фазе во второй ветви будет меньше /2 и определяется условием:

.

Векторная диаграмма токов для рассматриваемого случая представлена на рис.8.9. Вектор амплитуды результирующего тока i определяется как векторная сумма векторов амплитуд сил токов i₀₁ и i₀₂.

Из диаграммы 8.9. , (8.18)

где (8.19)

Рис.8.9

найден из векторной диаграммы 8.5 и  характеризует сдвиг фаз между напряжением U и силой полного тока i. Колебания силы тока i при этом опережают колебания напряжения по фазе на  : i = i0sin(t + ). По аналогии с (8.19) для сдвига фаз 2 между напряжением U и силой тока i можно написать: . (8.20)

Используя выражения (8.17) и (8.20), формулу (8.18) представим в виде:

. (8.21)

Из формулы (8.21) полное сопротивление контура, включенного параллельно, будет

.

Если в цепи изменять L и C или частоту генератора , то при условии ,

т.е. при совпадении частоты внешнего напряжения с частотой собственных колебаний контура

(8.22)

cos  становится равным 1, а сдвиг фаз  между напряжением и силой полного тока равным нулю. При этом полное сопротивление контура Z принимает наибольшее при данных R, L,C значение, равное , или при использовании (8.22), а сила полного тока i становится наименьшей.

Силы токов в ветвях i₁ и i₂ в этих условиях могут значительно превышать силу полного тока в подводящей цепи.

Явление значительного возрастания амплитудных значений сил токов в ветвях контура, подключенного параллельно к источнику тока, при приближении частоты внешнего напряжения к частоте собственных колебаний контура носит название резонанса токов.

При R, стремящемся к нулю, полное сопротивление Z_РЕЗ стремится к бесконечности, а следовательно, сила резонансного тока в подводящей цепи i_РЕЗ стремится к нулю, хотя в каждой из ветвей силы токов значительны.

В таком идеализированном контуре с R = 0, согласно формулам (8.17)

, и, в силу равенства ,i₀₁ = i₀₂.

Сдвиг фаз ₁ при этом равен , a₂ = -, т.е. силы токов в ветвях совершают колебания в противофазах иi₀ = i₀₁ - i₀₂ = 0.