где круговая частота колебания ω численно равна угловой скорости вращения вектора; 2) проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось.
Рис. 5.9. Схема вращения вектора
Чтобы рассмотреть сложение одинаково гармонических колебаний с одинаковой частотой (но, возможно, различающихся амплитудами и начальными фазами):
x1 = A1 |
cos(ωt +α1), |
(5.48) |
|||
x |
= A |
cos(ωt +α |
2 |
), |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
сопоставим каждому из них вектор, как описано выше, и затем сложим век- |
||||
торы |
G |
G |
по |
правилу параллелограмма. Поскольку длины векторов |
A |
и A |
|||
G |
G1 |
2 |
|
|
A1 и A2 , |
а также угол между ними α2–α1 при вращении не изменяются, то и |
|||
вектор AG |
будет сохранять неизменной свою длину и расположение относи- |
|||
тельно векторов |
G |
G |
||
A1 |
и A2 . Это отражает тот факт, что сумма двух гармониче- |
|||
ских колебаний с одинаковой частотойG такжеG является гармоническим колебанием той же частоты. Вектор A = A1 + A2 и соответствует этому результи-
рующему колебанию.
Рассматривая рис. 5.10, нетрудно понять, что амплитуда А и фаза α результирующего колебания x(t)=x1(t)+x2(t) могут быть найдены из геометри-
ческих соображений:
A2 = A2 |
+ A2 |
+ 2A A cos(α |
2 |
−α ) |
(5.49) |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
(GтеоремаG косинусовG для треугольника, образованного векторами
A, A1 и A2 );
tgα = |
A1 sinα1 |
+ A2 sinα2 |
(5.50) |
||
A cosα |
|
||||
|
+ A cosα |
2 |
|
||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
(по определению тангенса).
Из рис. 5.10 и уравнения (5.49) следует неравенство для амплитуды результирующего колебания:
A1 − A2 |
|
≤ A ≤ A1 + A2 . |
(5.51) |
|
128