Рис. 5.4 . Последовательный колебательный контур

Рис. 5.4 . Последовательный колебательный контур

Рис. 5.6. Параллельный колебательный контур

Подставляя эти соотношения в (5.23), получаем

Рис. 5.6. Параллельный колебательный контур

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

физика. лабораторные работы.вопросы к экзамену / лабы часть 2.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5240 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

применив второе правило Кирхгофа к данной цепи:

			UC (t) +UL (t) + E(t) = i(t)R .
Здесь i(t) =	dq	= −C	dUC	(t)	, т. е. UС = −	1	i(t)dt ,
	dt		dt			C ∫

(5.23)

UL = −L didt(t) .

Рис. 5.4 . Последовательный колебательный контур
Подставляя эти соотношения в (5.23), получаем
di(t)	1		∫i(t)dt =E(t) .
L dt	+Ri +			(5.24)
		C

Если предположить, что электродвижущая сила E(t) изменяется по гармо-

ническому закону и ограничиться рассмотрением установившегося режима, то уравнение (5.24) можно записать в виде:

E* = RI* + L	dI*	+	1	∫I*dt ,	(5.25)
	dt		C

где E (t) = Ee jωt = E* , i(t) = Ie jωt = I* - векторы напряжения и тока в символической (комплексной) форме. Замечая, что

∫I

= jωI

dt =

(5.26)

jω

соотношение (5.25)

преобразуется к виду

= I

R + jωLI

−

= R

+ j

ωL +

(5.27)

ωC

Если в качестве реакции на воздействие внешнего сигнала рассматривать колебания тока I(t), то контур характеризуется комплексным сопротивлением

Z (ω) =

= R +

ωL −

= R + jX ,

=ωL −

(5.28)

ωC

Здесь Х – реактивное сопротивление контура.

Можно записать

− ϕ

Z =

e j

;

Y (ω) =

j ,

R2 + X 2

(5.29)

Y (ω)

где Z – модуль (величина) сопротивления контура,

– величина, об-

ратная сопротивлению и называемая проводимостью контура, а ϕ – сдвиг по фазе между напряжением E на входе контура и током I* в контуре. Этот

122

фазовый угол

				X				ωL −	1
			ϕ = arctg	X	, или	tgϕ =		ωL −	ωC	.	(5.30)
			ϕ = arctg		, или	tgϕ =		R		.	(5.30)
				R				R
	Соотношения (5.27) – (5.30) можно						преобразовать, введя				параметры
Q =		ω0 L	- добротность контура и ω0 =				1	- собственную частоту конту-
Q =		R	- добротность контура и ω0 =					- собственную частоту конту-
		R					LC

ра, к виду

или

Y (ω) =

Zвх

(ω) = R 1 + jω

−

;

ω0

X (ω) = QR

ω0

Zвх(ω)

= R 1 + Q2

ω0

Y (ω)

−

;

Z (ω)

ω0

ϕ = arctg

−

ω0

−

Z (ω)

Y (ω)

exp

− j arctg Q

R 1 +

−

jω

ω0

(5.31)

(5.32)

(5.33)

. (5.34)

Поскольку представляет интерес поведение падения напряжения на каждом из элементов, входящих в последовательный контур, определим закон

изменения UR (напряжение на резисторе), UC (на конденсаторе) и UL (на катушке индуктивности). Ток, протекающий через все элементы, I = EZ .

Следовательно, комплексные величины падения напряжения на резисторе

UR = RI ;	на конденсаторе UC =				I	= I R	ω0	Q ; на катушке индуктивности
UR = RI ;	на конденсаторе UC =				ωC	= I R	ω0	Q ; на катушке индуктивности
			ω		ωC		ω
			ω
UL =ωLI	= I	R		Q . Тогда реакция на входной сигнал, определяемый как
UL =ωLI	= I	R	ω0	Q . Тогда реакция на входной сигнал, определяемый как
			ω0

модуль отношения комплексной величины напряжения на соответствующем элементе к комплексной величине вынуждающего напряжения на входе, будет равна:

на резисторе

R Y (ω)

;

(5.35)

ωL −

1 2

1−Q2

−

ω0

ωC

123

на конденсаторе

Y (ω)

ω0

T (ω)

;

(5.36)

ωC

1−Q2

+ ωL

−

ω0

ωC

на катушке индуктивности

ωLY (ω)

T (ω)

ωL

ω0

(5.37)

ωL −

1−Q2

−

ω0

ωC

График амплитудно - частотной характеристики (АЧХ), соответствующий соотношениям (5.34), (5.35), (5.36), приведен на рис. 5.5. Эти графики часто называют резонансными кривыми, т. к. они характеризуют явление резонанса в контуре.

Рис. 5.5. Амплитудно - частотные характеристики последовательного колебательного контура

Из них следует, что в одной и той же цепи различные физические величины I(ω), UC(ω) и UL(ω) достигают максимальных величин при различной частоте. Это обстоятельство обуславливает необходимость уточнения понятия «резонансная частота».

Условились под резонансной частотой ω в цепи подразумевать такое значение частоты, при котором входная функция (сопротивление или проводимость) принимает вещественное значение. При частоте, равной резонансной, входное сопротивление или входная проводимость цепи являются активны-

ми. Условие, определяющее значение ωР, можно представить любым из выражений:

Im{Zвх(ωP )} = 0,				arqZвх (ωP )= 0
m{Y	(ω	P	)}= 0,	arqY	(ω	P	)= 0 .	(5.38)
вх		P		вх		P

124

В рассматриваемом контуре явление резонанса проявляется в резком нарастании амплитуд тока и напряжений на элементах цепи по мере приближения частоты вынужденных колебаний к резонансной частоте, которая, на основании условий (5.38), равна

туды напряжений на реактивных элементах цепи в Q раз превышают амплитуду задающего напряжения источника (см.(5.36), (5.37)):

ТС,L (ωP ) = Q ;

UC =UL = QE .

Строго говоря, это – условие, когда величина тока I в контуре достигает максимального значения. Поскольку комплексные проводимости TC (ω) и TL (ω) равны, соответственно,

T (ω)

− j

+ arctgQ

−

exp

;

ω0

−arctgQ

ω0

T (ω) =

T (ω)

exp j

−

ω0

то при

ω = ω0

, когда

TC (ω)

TL (ω)

, величины напряжений на реактив-

ных элементах не максимальны, но равны по величине и противоположны по знаку, в результате чего суммарное напряжение на них равно нулю. Именно из этих соображений резонанс в рассматриваемом контуре называют резо-

нансом напряжений.

На рис. 5.6 изображен параллельный колебательный контур. Для него из первого правила Кирхгофа следует:

i(t) + iC (t) −iR (t) + iL (t) = 0 .

(5.40)

Здесь

i = −C dU

, i

−

Udt , i

= U .

(5.41)

L ∫

Воспользовавшись символической формой записи, находим:

125

I =U

+ j

ωC −

, или I =U G

+ jQ

− ω0

(5.42)

ω0

ωL

G =

;

Q =ω CR =

= R

C .

(5.43)

ω0L

Следует обратить внимание на иную форму записи величины добротности. Это вызвано тем, что сопротивление, включаемое в параллельный контур, должно иметь большую величину, чтобы не шунтировать его. При этом физическая суть добротности остается неизменной, поскольку в параллель-

ном контуре запасённая энергия определяется как

Wзап =

U 2

ω0RC ,

2ω0L

U 2

энергия потерь -

, Q

= 2π

зап =ω

СR =

, что

пот

совпадает с (5.43).

пот

Входное сопротивление цепи

− ω0

;

Zвх =

Zвх

exp jQ

ω0

G + j

−

ω0

Zвх

(5.44)

1 +Q2

−

ω0

Нетрудно убедиться, что величина полного тока, протекающего через контур, равна

I	= U0	1 + Q2	ω		ω0	2
				−			,

	R		ω0		ω

вто время как амплитуды токов, протекающих через катушку индуктивности

иконденсатор, по отношению к величине полного тока изменяются по законам

ω0

I L

;

(5.45)

1 +Q

−

ω0

1+ Q

−

ω0

При ω = ω0 наступает резонанс, называемый резонансом токов, когда общий ток, протекающий через контур, минимален (рис. 5.7).

Явление резонанса в рассматриваемых цепях проявляется в том, что они существенно реагируют на колебания в некотором диапазоне частот, который называется «полосой пропускания» контура.

126

Рис. 5.7. Кривая зависимости величины	Рис. 5.8. Кривая зависимости
тока от частоты	величины напряжения от частоты

Обычно этот спектр частот заключен в рамках, ограниченных значениями тока или напряжения, равными I =0.707 Iрез (или U=0.707Uрез), что соот-

ветствует значениям I = Iрез /			2 . В этом случае
Q2	ω	−	ω0	2	=1 = Q2	(ω −ω0 )	2	(ω +ω0 )	2	.

						(ωω0 )2
	ω0		ω

Приближенно можно считать, что ω+ω0≈2ω0, ω-ω0 =∆ω,		для расчёта ве-
личины добротности использовать соотношение
Q =	ω0	(5.46)
	2∆ω

и по резонансной кривой достаточно точно определить Q (см. рис. 5.8).

Сложение гармонических колебаний

Чисто синусоидальные колебания практически не встречаются ни в природе, ни в технике. Обычно колебательный процесс может быть представлен как результат сложения некоторого (возможно, бесконечного) числа гармонических (синусоидальных) колебательных процессов, у которых могут различаться частоты, начальные фазы, амплитуды, а также направление колебаний. Основные закономерности сложения гармонических колебаний могут быть рассмотрены уже на примере сложения двух колебаний.

Для наглядного описания сложения одинаково направленных колебаний весьма удобно использовать метод векторных диаграмм. Он основан на двух общеизвестных математических фактах: 1) если вектор длины А (рис. 5.9) вращается в плоскости ху в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой скоростью ω, причем в начальный момент он составляет угол α с осью х, то проекция вектора на ось Ох изменяется со временем по гармоническому закону

x=A cos(ωt+α),

(5.47)

127

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5240 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке физика. лабораторные работы.вопросы к экзамену

#
14.03.201686.89 Кб23вопросы к экзамену.pdf
#
14.03.2016178.23 Кб28как подготовиться к лабе.pdf
#
14.03.20163.53 Mб88лабы часть 1.pdf
#
14.03.20163.93 Mб100лабы часть 2.pdf
#
14.03.2016131.07 Кб23пример оформления лабы.doc
#
14.03.2016225.49 Кб30семестровая работа.pdf

При ω=ωР входная проводимость максимальна

(Yвх(ωP )=

), а ампли-