Вопрос 7

Приведите методики экспериментального исследования переходных и весовых функций электронных звеньев.

Переходная функция

Для получения переходной функции в качестве стандартного сигнала используется единичная функция времени

Такого рода воздействию соответствует, например, сброс или включение нагрузки в системах регулирования (отказ мотора в системе регулирования).

Переходной функцией называется аналитическое выражение для решения линейного дифференциального уравнения (3.8) при входном сигнале x(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях, т.е.

Кривой разгона называется реакция объекта (системы) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

На практике кривая разгона определяется экспериментальным путем и используется в качестве исходных данных для анализа и синтеза систем автоматического управления исследуемом объектом.

Здесь следует ввести понятия прямой и обратной задач. Прямая задача (задача Коши) заключается в определении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. В обратной задаче требуется восстановить вид и коэффициенты дифференциального уравнения по известной интегральной кривой, например, переходной функции. Решение обратной задачи представляет значительную сложность вследствие ее некорректности и здесь существует специальный математический аппарат. Так, например, если предположить, что переходная функция описывается решением уравнения первого порядка

a₁y′(t) + a₀ y(t) = b₀x(t), x(t) = 1(t), у(0) = 0, или Ty′(t) + y(t) = kx(t),

где

, .

k – коэффициент усиления и Т – постоянная времени.

В статике у'(t) = 0 и, следовательно, у(∞) = k x(∞), откуда коэффициент усиления так какx(∞) = 1; y(∞) = h(∞), то k = h(∞).

Для определения постоянной времени Т исходное уравнение интегрируется в пределах от 0 до ∞:

Правая часть последнего выражения есть не что иное, как площадь S под экспериментально снятой кривой разгона (рис. 3.10, б), тогда можно записать: T h(∞) = s, откуда

Весовая функция

Для получения весовой функции, ее также называют импульсной переходной функцией, в качестве стандартного сигнала используется δ-функция (2.17):

Таким образом, весовой функцией w(t) называется реакция системы на δ-функцию при нулевых начальных условиях.

На практике весовую функцию в отдельных случаях можно получить экспериментальным путем весьма приближенно. Считают, что на вход объекта подана δ-функция, если время действия импульса намного меньше времени переходного процесса. Примером может служить эксперимент по снятию весовой функции химического реактора (рис. 3.4), являющегося объектом исследования.

Пусть в реакторе протекает химическая реакция типа А → B . При выводе уравнений приняты следующие допущения:

1) в реакторе осуществляется идеальное перемешивание реакционной смеси, т.е. концентрация во всех точках реактора одинакова;

2) теплоемкость реакционной смеси постоянна и равна теплоемкости исходного реагента;

3) реакция протекает в изотермических условиях, т.е. температура в реакторе постоянна.

В качестве входного сигнала в реактор залпом выливается порция красящего вещества (например, чернил). Через некоторое время это вещество появится на выходе, причем его концентрация первоначально возрастает, а затем убывает – красящее вещество вымывается (рис. 3.11).

Рис. 3.11 Переходная характеристика химического реактора:

а – δ-функция; б – весовая функция

Подаваемый на вход импульс представляет собой приближенную дельта-функцию, так как его площадь отлична от единицы и равна S. Поэтому для получения весовой функции экспериментально снятый переходный процесс нормируют путем деления его ординат на величину площади входного воздействия S.

Между временными характеристиками: переходной и весовой функциями существует взаимное однозначное соответствие, которое определяется следующим образом:

, .

Весовую функцию можно получить и как решение дифференциального уравнения

При решении подобных уравнений дельта-функцию переводят в начальные условия, и если n = 2, то

a₂ y′′(t) + a₁y′(t) + a₀ y(t) = 0; y(0) = 0; (0) y ^/(0) = b/a₂.