14. Эпр множества отражателей, находящихся в пределах разрешаемого объёма

Рассмотрим теперь случай, когда напряжение на входе приёмника определяется суммой сигналов, отражённых от n от­дельных элементов,

(56)

Здесь U_{m i} и  _i — амплитуда и фаза сигнала, отражённого i-м элементом цели.

Преобразуем выражение (56)

где

(57)

(58)

Смысл произведённых преобразований заключается в том, что мы каждое i-e входное напряжение разложили на две квад­ратурные составляющие (или на две проекции U_xi, U_yi по осям x и у, рис. 26), затем нашли амплитуды результирующих квад­ратурных составляющих U_xΣ, U_yΣ путём алгебраического сумми­рования n слагаемых и, наконец, в результате геометрического суммирования U_xΣ и U_yΣ нашли амплитуду U_mΣ и фазу _Σ напряжения на входе приёмника. Итак, будем иметь

u_вх(t) = U_mΣ cos(t -_Σ) . (59)

Если расположение элементов в пространстве хаотически из­меняется, то и фазы  _i изменяются случайным образом. При этом амплитуды квадратурных составляющих U_xi = U_mi cos _i и U_yi = U_mi sin  _i - также будут случайными.

Предположим, что амплитуды отдельных составляющих входного сигнала U_mi при­мерно одинаковы, что имеет место при соизмеримых значениях ЭПР отдельных элементов. Тогда законы распределения квад­ратурных составляющих U_xi и U_yi будут мало отличаться. В этих условиях законы распределения случайных величин U_xΣ и U_yΣ, являющихся результатом суммирования n случайных слагаемых, согласно центральной предельной теореме теории веро­ятностей будут нормализоваться по мере увеличения n. В част­ном случае, когда амплитуды всех составляющих входного на­пряжения одинаковы (одинаковы ЭПР всех элементов), законы распределения U_xΣ и U_yΣ близки к нормальному уже при n  4  5. Итак, будем считать, что U_xΣ и U_yΣ распределены нор­мально

где W — плотность вероятности; ²_x = ²_y = ² - дисперсии напря­жений U_xΣ и U_yΣ.

Найдём закон распределения амплитуды входного сигнала U_mΣ. Вначале покажем, что случайные величины U_xi = U_mi cos _i и U_yi = U_mi sin _i некоррелированы. Будем считать, что фаза  _i равномерно распределена на интервале [0, 2], т.е.

Тогда ковариация этих величин

Случайные величины U_xΣ и U_yΣ будут также некоррелированными, поскольку каждое из слагаемых U_xΣ взаимно некоррелировано с каждым из слагаемых U_yΣ. Для нормально распределённых случайных величин некоррелированность означает и независимость, поэтому двумерная плотность вероятности совместного распределения U_xΣ и U_yΣ равна произведению одно­мерных плотностей

(60)

От двумерного распределения (60) перейдём к двумерному закону распределения случайных величин U_mΣ и _Σ, использо­вав соотношения (58).

Если случайные величины U_xΣ и U_yΣ принимают значения в некоторых пределах [U_xΣ, U_xΣ + dU_xΣ], [U_yΣ, U_yΣ + dU_yΣ], то функционально зависящие от них величины U_mΣ и _Σ могут принять значения только в пределах [U_mΣ, U_mΣ + dU_mΣ] и [_Σ, _Σ + d_Σ], которые определяются выражениями (58). Вероятность, что эти величины будут находиться в указанных пределах, равна

W (U_xΣ , U_yΣ ) dU_xΣ dU_yΣ = W (U_mΣ, _Σ ) dU_mΣ d_Σ . (61)

Обозначим dS₁ = dU_xΣ dU_yΣ; dS₂ = dU_mΣ d_Σ - элементарные пло­щади в координатах U_xΣ , U_yΣ и U_mΣ, _Σ. Из соотношения (61) получим

W (U_mΣ, _Σ ) = W (U_xΣ , U_yΣ ) d S₁ / dS₂ . (62)

Отношение элементарных площадей при переходе от одной системы координат к другой определяется якобианом преоб­разования

(63)

Подставляя в формулу (62) необходимые выражения из формул (61) и (63) и используя соотношение из формул (58) U²_mΣ = U²_xΣ + U²_yΣ, получим окончательное выражение для совместной плотности распределения U_mΣ и _Σ

(64)

От двумерного распределения (64) перейдем к одномерному, произведя усреднение по _Σ в пределах возможных значений фазы [0, 2],

(65)

Соотношение (65) определяет известный в теории вероятно­стей закон распределения Релея. Следовательно, результирую­щая амплитуда суммы сигналов, отражённых от находящихся в пределах разрешаемого объёма хаотически перемещающихся n элементов с примерно одинаковыми ЭПР, подчинена за­кону распределения Релея, если n достаточно велико. Кривая плотности распределения Релея при нормированном к пара­метру σ аргументе представлена на рис. 27.

Найдём закон распределения мощности входного сигнала

(66)

где R_вх - входное сопротивление приёмника.

При переходе от переменной U_mΣ к переменной P_Σ для веро­ятности пребывания этих величин в пределах [U_mΣ, U_mΣ + dU_mΣ]; [P_Σ, P_Σ + dP_Σ] можно написать выражение

W(P_Σ) dP_Σ =W(U_mΣ) dU_mΣ,

откуда

(67)

Из формулы (66) получим

(68)

Подставляя в (67) соответствующие выражения из формул (65), (66) и (68), получим

(69)

Заметим, что среднее значение мощности отражённого сиг­нала

(70)

Из формул (69) и (70) окончательно получим

(71)

Учитывая, что ЭПР пропорциональна мощности отражён­ного сигнала

для плотности вероятности ЭПР получим выражение

(72)

Таким образом, суммарная мощность сигналов, отражён­ных от множества хаотически перемещающихся элементов, и результирующая ЭПР всей цели изменяются случайным обра­зом в соответствии с экспоненциальными законами распреде­ления (71) и (72) (рис. 28).

Вероятность того, что величина ЭПР не превысит заданное значение S_Э, определяется интегральным законом распределения

(73)

Если ЭПР непрерывно случайным образом изменяется во времени, то соотношение (73) определяет вероятность того, что мгновенное значение ЭПР в произвольно выбранный момент времени будет меньше заданного значения. Интегральный закон распределений нормированного значения ЭПР представлен на рис. 29.

Если наблюдение цели производится в течение интервала времени, достаточно большого по сравнению с временем корреляции случайного процесса изменения ЭПР, то интегральный закон (73) определяет относительную долю интервала наблю­дения, когда ЭПР будет меньше заданного значения.

Разность 1 - F(S_Э) определяет вероятность того, что случай­ная величина будет больше заданного значения.

Например, из рис. 29 найдём F(1) = 0,63, F(2) = 0,86, соответственно 1- F(1) = 0,37, 1- F(2) = 0,14. Таким образом, в течение 37% времени наблюдения будет выполняться соотношение S_Э ≥ и только в течение 14% времени наблюдения S_Э ≥ 2.