Лекции.Принят.Управ.Решений

72

признаками. Характеристикой взаимосвязи пар объектов на множестве ранжировок является матрица коэффициентов ранговой корреляции. Известны коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется по формуле

обратная ранжировки). При = 0 сравниваемые ранжировки считаются линейно независимыми.

7.3.4. Вопросы количественного состава экспертной

группы при решении задач по разработке управленческих

решений

Все слабо структурируемые проблемы, требующие для своего решения привлечения экспертов, можно разбить на 2 класса.

Проблемы 1-го класса – те, в отношении которых имеется достаточный информационный потенциал знаний экспертов. В этом случае групповая экспертная оценка близка к истинному значению оцениваемого признака.

Проблемы 2-го класса – те, для которых недостаточен информационный потенциал знаний экспертов. В оценках экспертов появляются значительные расхождения. Применение осреднительных методов для получения групповой оценки может привести к большим ошибкам. Однако именно для этих проблем наиболее часто возникает необходимость в экспертной оценке.

74

снижение достоверности за счет дополнительного привлечения малоквалифицированных специалистов.

Введем следующие обозначения:

n – количество экспертов; n – требуемое минимальное

количество экспертов; an - среднеарифметическое значение оценок

n экспертов; an 1 - среднеарифметическое значение оценок группы из n+1 эксперта; с – мера влияния суждений одного эксперта на групповую оценку определяется по формуле

c an 1 ;

Формула для определения n

c аn b n an 1 c ,

где b – оценка эксперта, более всего отклонившаяся от среднего значения.

Порядок применения этой формулы рассмотрен в следующем примере.

Пример.

1) Подбирается группа экспертов в количестве 4–5 человек, каждый из которых дает свое значение нормированной оценки

параметра:

2) по полученным оценкам находится an n 5 :

оптимальным значением. Если оптимальное значение целевой

функции достигается более чем на одном векторе y ,то говорят, что

оптимальное решение не единственно. В зависимости от вида множества YД задачи оптимизации подразделяются на два типа:

1) задачи безусловной оптимизации, в которых допустимым

является любой n-мерный вектор, т.е. YД в этом случае совпадает с

Rn;

2) задачи условной оптимизации, когда YД Rn.

Для решения задач 1-го типа используются такие методы МП,

как:

- дифференциальные исчисления, когда f y выражается в

форме аналитической функции и всякие ограничения на альтернативы отсутствуют; оптимальное решение может быть найдено из системы уравнений

является постоянным, а само является функцией (например,

времени);

-принцип максимума Л.С.Понтрягина;

-динамическое программирование (метод Беллмана).

Среди задач 2-го типа различают:

- задачи с ограничениями типа равенств, если

т.е. допустимыми решениями являются такие решения y , которые удовлетворяют системе неравенств

свойства целевой функции и функций ограничений не накладываются никакие условия;

- задачи выпуклого программирования (ВП), когда и

i y в виде неравенств являются выпуклыми функциями;

-задачи линейного программирования (ЛП), если f y и

i y – линейные функции;

-задачи квадратичного программирования (КП), когда f y

–квадратична, а i y – линейны;

79

……………………. (3)

am1y1 am2 y2 amn yn bm

или в матричной форме:

Допустимыми решениями задачи ЛП, которые формируют множество YД , являются всевозможные неотрицательные векторы

y , для которых выполняется условие

A y b.

Допустимые решения называются также опорными планами.

Вектор y , значения целевой функции при котором максимально на

множестве YД , называется оптимальным решением, оптимальным планом или оптимальным управлением.

Задача ЛП имеет следующую геометрическую интерпретацию.

Введем в n-мерном векторном пространстве Rn cистему координат

0y1y2…yn. Тогда любое неравенство системы (3) делит Rn на два полупространства, в одном из которых неравенство выполняется, а в другом не выполняется. Границей этих полупространств является гиперплоскость, уравнение которой получается путем замены соответствующего неравенства на равенство. Допустимое множество YД является пересечением m+n полупространств

80

(включая n осей координат). Если YД ограничено, то оно

представляет собой выпуклый многогранник, называемый

линиями уровня. Линии уровня в задаче ЛП – это семейство

Очевидно, f y c .

Направление градиента есть направление наискорейшего возрастания целевой функции. При переходе от одной линии уровня к другой в направлении градиента значение целевой функции будет возрастать до тех пор, пока не дойдет до точки y YД , в котором оно будет максимальным. Можно показать, что оптимальное

решение y всегда находится либо в одной из вершин симплекса,

либо на одной из его граней. Графический метод применяется в основном для решения двумерных задач (n=2).

Эффективным и универсальным методом решения задач ЛП

(для любых n) является симплекс-метод, который за конечное число шагов ( итераций ) позволяет получить оптимальное решение. При этом простой перебор вершин симплекса заменяется направленным переходом от одной его вершины к соседней в направлении возрастания значений целевой функции. Переход продолжается до тех пор, пока не будет достигнута оптимальная точка.

В том случае, когда использование аналитических методов

81

затруднительно или даже невозможно (например, целевая функция задана в виде набора логических условий), для нахождения оптимального решения y применяют численные методы поиска экстремума целевой функции. Эти методы разделяют на следующие:

1)регулярные, при которых поиск оптимального решения производится по строго определенной процедуре;

2)случайные, когда при поиске используется элемент случайности.

1. Регулярные методы включают в себя:

- пассивный поиск, при котором область допустимых решений разделяется на равные интервалы, в точках пересечения которых вычисляются значения целевой функции; за оптимальную принимается та точка, где получено max (min) значение функции;

- метод покоординатного подъема (спуска), состоящий в следующем: фиксируется одна координата y2 и изменяется вторая y1

до тех пор, пока f y1,y2 возрастает (убывает), затем фиксируется

величина y1 и меняется y2 до тех пор, пока возрастать (убывать)и т.д.;

- градиентный метод, состоящий в отыскании направления,

по которому целевая функция изменяется наиболее сильно;

нахождение такого направления происходит следующим образом:

вычисляется значение в пяти точках (исходной и равноотстоящих от нее в двух взаимно перпендикулярных направлениях); найдя для них такое направление, вдоль него совершается шаг и, принимая полученную точку за новую исходную, повторяют ту же процедуру;

- метод скорейшего подъема (спуска) аналогичен предыдущему, но только в направлении наиболее сильного увеличения (уменьшения) целевой функции делают не один шаг, а