электричество и магнетизм лабораторный практимум

Разделяя переменные в дифференциальном уравнении (4), приходим к выражению, удобному для непосредственного интегрирования

При интегрировании дифференциального уравнения (5) следует учесть, что в начальный момент времени t0 = 0 напряжение на обкладках конденсатора Uс0 = 0. Проинтегрируем левую и правую части уравнения (5)

После простых алгебраических преобразований получим закон нарастания напряжения на обкладках конденсатора

Длительность процесса зарядки тем больше, чем больше электроемкость C и сопротивление R. Произведение RC имеет размерность вре-

51

малое сопротивление, через нее начинает разряжаться конденсатор. Но конденсатор разряжается лишь частично, так как разряд прекращается в момент погасания лампы. Момент погасания лампы наступает при уменьшении напряжения до так называемого потенциала погасания лампы Uz. По сравнению с заряжением конденсатора частичная его разрядка происходит практически скачком. Далее начинается подзарядка конденсатора от величины потенциала погасания лампы до потенциала зажигания.

На рис. 3 графически отображен периодический процесс заряжения и разрядки конденсатора в RC-контуре.

В отличие от графика, приведенного на рис. 2, начальный момент

ние релаксационных колебаний напряжения на обкладках конденсатора.

Форма релаксационных колебаний на графике (рис. 3) определяется кривой ABD. Поскольку время заряжения конденсатора намного больше времени его разрядки, то период релаксационных колебаний практически равен времени заряжения конденсатора. Поэтому при выводе расчетной формулы будем исходить из следующих соображений.

Предположим, что в момент времени t1 напряжение на обкладках конденсатора Uс равно потенциалу погасания лампы Uz. При t > t1 конденсатор подзаряжается от источника питания ( Uz<Uc<Uл ) в момент времени t2 напряжение на обкладках конденсатора становится равным потенциалу зажигания (Uc = Uл). Проинтегрируем правую и левую части уравнения (5) в соответствующих пределах

52

Учитывая, что период релаксационных колебаний приближенно ра-

Описание лабораторной установки. Для наблюдения релаксацион-

ных колебаний и измерения их периода в работе используется электронный осциллограф, основной частью которого является электронно-

ние свободных электронов. Пройдя ускоряющую разность потенциалов, пучок электронов попадает на экран и вызывает его свечение. При этом на пути к экрану пучок электронов последовательно проходит между двумя парами отклоняющих пластин P1 и P2. Если к пластинам P1 присоединить источник переменного напряжения, например синусоидального, то между пластинами возникает переменное электрическое поле. Под действием этого поля пучок электронов будет колебаться в вертикальном направлении, а светящееся пятно на экране будет совершать колебания вдоль вертикальной прямой. При подаче напряжения на горизонтально отклоняющие пластины P2 светящееся пятно на экране будет перемещаться вдоль горизонтальной прямой. Обычно в осциллографах на пластины подается напряжение, линейно возрастающее со временем и с последующим резким спадом. Тогда, при отсутствии напряжения на вертикально отклоняющих пластинах P1, светящееся пятно на экране будет двигаться с постоянной скоростью вдоль горизонтальной прямой. Как только пятно достигает крайней точки эк-

53

рана, напряжение на пластинах P2 резко падает, и пятно практически мгновенно возвращается в исходное положение. Нарастание и спад напряжения на пластинах P2 повторяется многократно с определенным периодом, который можно измерить. Для того чтобы движение пятна начиналось не из центра экрана, а из крайнего положения, на одну из пластин подается отрицательный потенциал. Смещение пятна под действием линейного напряжения, подаваемого на пластины P2, называется разверткой во времени. Для получения линейного напряжения развертки в осциллографе смонтирован генератор пилообразных колебаний. Если теперь к пластинам P1 подключить переменное напряжение с периодом T1, к пластинам P2 подключить пилообразное напряжение с периодом T2 = nT1, где n – целое число, то на экране можно будет увидеть неподвижную картину, отражающую изменение напряжения на пластинах P1 как функцию времени в течение нескольких периодов. Для измерения амплитуды и периода колебаний напряжения, подаваемого на пластины P1, на экран осциллографа наносится сетка. Для градуировки сетки с делителя напряжений, подключенного к сети переменного тока, подается синусоидальное напряжение, и на экране осциллографа наблюдается синусоида с частотой f =50 Гц (период T0 = 0,02 с). Наблюдение синусоиды позволяет отградуировать “ось времени” на сетке экрана. Далее проводят наблюдения релаксационных колебаний, и определяют их периоды для различных электроемкостей, включенных в цепь RC-контура. Амплитудное значение напряжения пропорционально количеству делений на сетке, укладывающихся в пределах амплитуды наблюдаемых колебаний. Постоянное напряжение источника питания U0 измеряется при помощи вольтметра V.

Электрическая схема лабораторной установки приводится на рис. 5 и на передней панели лабораторного макета.

Рис. 5

54

Порядок выполнения работы. Ознакомьтесь с электронным осциллографом и источником питания, а также с назначением рукояток управления приборами, размещенных на передних панелях. Желательно обратить особое внимание на те рукоятки, которые позволяют включать луч, усиливать яркость пятна и его резкость, а также перемещать пятно на экране осциллографа в горизонтальном и вертикальном направлениях.

Подключите к макету лабораторной установки осциллограф и источник питания. Макет, осциллограф и источник питания включите в сеть переменного напряжения частотой f0 =50 Гц. Аттенюатор выходного напряжения источника питания следует установить в крайнее левое положение, соответствующее минимуму выходного напряжения. Замыкая ключи K1, K2 и K3 магазина емкостей, установите наибольшую емкость. Переключатель П нужно зафиксировать в положении “релаксационные колебания”. После этого приступайте к наблюдению релаксационных колебаний.

Включите источник питания и осциллограф. После прогрева осциллографа на экране появляется электрический луч и высвечивается горизонтальная полоса. Соответствующими рукоятками горизонтальную полосу установите в центре экрана осциллографа. Замкните ключ K4. Медленно увеличивайте напряжение на входе RC-контура до момента возникновения релаксационных колебаний. Показание вольтметра, контролирующего напряжение на входе контура, будет соответствовать напряжению зажигания лампы тлеющего разряда Uл. Увеличьте входное напряжение на 15–20 В и снимите показания вольтметра U0. Показания вольтметра Uл и U0 запишите в табл. 1. Следует подобрать время развертки таким образом, чтобы на экране осциллографа можно было наблюдать не более трех полных колебаний. Отсчитайте число делений вдоль вертикальной прямой, укладывающихся между минимальными и максимальными значениями наблюдаемых колебаний, и умножьте на цифровую отметку переключателя “В/дел.” или “В/см”. Полученный результат будет равен амплитуде релаксационных колебаний Uа. Потенциал погашения лампы определяется по формуле

Uz = Uл – Uа.

Вдоль горизонтальной прямой определяется число делений n, в пределах которых укладывается одно полное колебание.

55

С делителя напряжения, смонтированного внутри макета, при помощи переключателя П на вход осциллографа следует подать синусоидальное напряжение частоты f0 =50 Гц. Вдоль горизонтальной прямой на экране осциллографа отсчитывается число делений n1, укладывающихся в пределах одного периода синусоиды. При этом время развертки должно оставаться прежним. Включая и выключая синусоидальное напряжение переключателем П, повторите измерения не менее трех раз. Для каждого измерения найдите цену деления сетки на экране осциллографа

∆ t1= T0 . n1

Затем рассчитайте среднее значение цены деления. При помощи ключей K1, K2 или K3 измените емкость контура и проделайте еще две аналогичных серии измерений. Все данные заносятся в табл. 1 и 2.

Таблица 1

Контур n, дел. T, изм U0, В UЛ, В UZ, В R, КОм С, мкФ T, выч ∆ T

Таблица 2

Вычисление результатов и оформление отчета. 1. По результатам измерений следует вычислить периоды релаксационных колебаний для каждого значения емкости, включаемой в контур. Для этого умножьте число делений n, в пределах которых укладывается одно полное колебание, на цену деления сетки экрана осциллографа ∆ t в секундах

T = n ∆ tср.

2.Рассчитайте по формуле (11) периоды тех же релаксационных колебаний.

3.На основании экспериментально полученных результатов постройте графики зависимости периода релаксационных колебаний от емкости, включенной в контур. Для сравнения на том же графике постройте аналогичную теоретическую кривую.

4.Для каждого вычисленного значения периода релаксационных колебаний определите неисключенную систематическую погрешность.

56

Отчет должен содержать электрическую схему лабораторной установки, расчетные формулы и примеры вычислений, численные результаты, графики и выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Дайте определение релаксационных колебаний.

2.Изобразите электрическую схему, используемую в лабораторном макете для изучения релаксационных колебаний.

3.Опишите устройство и принцип работы электронного осциллог-

рафа.

4.Выведите формулу нарастания напряжения при зарядке конденса-

тора.

5.Нарисуйте график релаксационных колебаний.

6.Выведите расчетную формулу для определения периода релаксационных колебаний.

57

ПРИЛОЖЕНИЕ

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Погрешности могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. В том случае, когда измеряемая величина случайна по своей природе, т. е. не имеет точного значения, правильнее говорить не об ошибках, а о разбросе экспериментально измеренных значений.

Ошибки, связанные с несовершенством измерительных средств, бывают случайными и неслучайными. Неслучайные ошибки корректируются введением соответствующих поправок. Случайные же ошибки приборов и других измерительных средств описываются погрешностями, т.е. интервалами возможного отклонения измеренного значения величины от ее истинного значения.

Систематическая погрешность. Интервал допустимого отклонения измеренной величины от ее истинного значения называется систематической погрешностью прибора. Обычносистематическаяпогрешностьобозначается большой греческой буквой θ, нижним индексом указывается измеряемая величина. Например, систематическая погрешность времени обозначается θt; тока – θI; напряжения – θU; длины – θl; массы – θm. Систематическую погрешность прямого измерения можно рассчитать по шкале прибора. Обычно на ней крупной цифрой указывается класс точности. Класс точности – это число, показывающее, сколько процентов от максимального значения по шкале в выбранном диапазоне составляет систематическая погрешность. Таким образом, систематическая погрешность величины θx определяется пределом шкалы прибора Xmax и его классом точности K

Если цифра, обозначаюшая класс точности на шкале прибора, помещена в кружок, в формулу (1) следует подставлять не Xmax , а измеренное значение Х

В тех случаях, когда класс точности прибора не указан (линейка, секундомер, термометр), систематическую погрешность обычно принимают равной половине цены деления шкалы.

58

По формулам (1) или (2) можно найти систематическую погрешность прямого измерения, однако чаще приходится проводить косвенные измерения. Косвенным называется такое измерение, которое сводится к определению по прибору величины или величин, не являющихся искомыми, и вычислению искомой по ним. Измеряются величины X1, X2, X3, …, и по ним вычисляется искомая функция f(x1,x2,x3, …,). Например, определение электрического сопротивления резистора R, сводящееся к измерению силы тока I, напряжения U и вычислению R=U/I, является кос-

венным. В данном случае U = x1, I = x2, R = f.

Систематическая погрешность косвенного измерения θf выражается через систематические погрешности прямых измерений θx1 , θx2 , θx3 , ...,

Здесь ∂f/∂xi – частные производные функции по соответствующей переменной. Частной производной функции нескольких переменных называется производная по одной из них, взятая при условии, что другие переменные принимают в этот момент фиксированные значения.

Вычисление погрешности по формуле (3) является оценкой, поэтому полученное значение θf принято округлять до одной значащей цифры. Вторую цифру можно сохранять (можно и не сохранять) лишь в том случае, если первая оказалась единицей. Погрешность при округлении можно увеличивать, но лучше не уменьшать (об этом пойдет речь ниже).

Пример 1

Измерение электрического тока проводится амперметром, имеющим предел измерения Im =10 A и класс точности KI =1,0. Напряжение измеряется вольтметром с пределом измерения Um = 250 B и классом точности KU = 2,0. Показания приборов: I = 4 A, U = 220 B. Найти электрическую мощность и ее систематическую погрешность.

Решение

Систематические погрешности прямых измерений тока и напряжения найдем по формуле (1).

59

Мощность электрического тока вычисляется по известной формуле: P = IU. Поскольку имеем дело с косвенным измерением, систематическую погрешность мощности θP выразим при помощи формулы (3) через погрешности тока θI и напряжения θU

Теперь найдем мощность электрического тока P = IU = 880 Вт.

Ответ

P = 880 ± 40, Вт.

Случайная погрешность. При многократном повторении измерений полученные результаты будут отличаться друг от друга. В качестве результата серии из N измерений (как прямых, так и косвенных) в таком случае разумно взять среднее арифметическое:

Среднее квадратическое отклонение этой величины обычно обозначается SX и вычисляется по формуле

∑N (Xi − X )2

Рассмотрим серию косвенных измерений. Пусть в опыте с номером i измеряются величины X1i, X2i, X3i , …, по которым вычисляется искомая величина – функция f(x1i,x2i,x3i, …,). Следует различать два случая при проведении таких измерений.

Сначала рассмотрим случай, когда внешние условия не меняются от опыта к опыту. При такой постановке эксперимента значения каждой переменной меняются лишь вследствие случайных ошибок измерений. В таком случае по формуле (4) находят средние значения каждой переменной X1, X2 , X3, ..., а по формуле (5) – их случайную погрешности. Среднее значение величины f вычисляют по формуле

60