Квантовая_физика(лабы)

Можно показать, что уравнение (2) имеет однозначные, конечные и непрерывные решения при любых положительных значениях E > 0, а также при дискретных отрицательных значениях энергии:

где R – постоянная Ридберга; c – скорость света в вакууме; n – главноеквантовоечисло.Этидискретныезначенияэнергииопределяют систему термов атома водорода. Волновые функции Ψ, являющиеся решениями уравнения (2), описывают возможные квантовые состояния электрона.

Состояние электрона в атоме водорода характеризуется тремя целыми квантовыми числами n, l и m.

Орбитальное квантовое число l определяет момент импульса

электрона M = l(l+1) , l = 0,1, 2,…, (n–1).

Состояния, соответствующие различным значениям орбитального числа l, обозначаются соответственно: s(l = 0), p(l = 1), d(l = 2), f(l = 3) и т. д.

Магнитное квантовое число m определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление (ось OZ)

Если заданы квантовые числа n, l, m состояния электрона в атоме, то могут быть определены энергия, момент импульса и проекция момента импульса электрона в этом состоянии. Энергия электрона в атоме водорода зависит только от главного квантового числа n. Следовательно, каждому значению энергии En (кроме E1) соответствует несколько квантовых состояний, отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных квантовых состояний с одинаковым значением энергии называют кратностью вырождения g соответствующего энергетического уровня.

Поскольку l всегда меньше n, возможны следующие состояния электрона в атоме в зависимости от n и l:

21

При обозначении квантового состояния главное квантовое число указывается перед условным (буквенным) обозначением квантового числа l.

Экспериментальное определение энергии уровней атома водорода и других атомов показывает, что уровней больше, чем предсказываетрассмотреннаявышетеория.Эторасхождениесвязаностем, что электрон, как и большинство других элементарных частиц, обладает собственным моментом s, который называется спином.

Проекция спина sz, так же, как и проекция орбитального момен-

та, меняется дискретно на величину, кратную ћ,sz = ± 1 = ms . m = ± 1 2

Величина s называется спиновым квантовым числом. 2

Следовательно, для полного определения состояния электрона в атоме необходимо задать четыре квантовых числа n, l, m и ms.

Схема энергетических уровней атома водорода и соответствующих переходов изображена на рис. 1. Горизонтальными отрезками линий изображены уровни энергий, которые здесь разбиты на пять

Рис. 1

22

рядов уровней, соответствующих различным значениям орбитального квантового числа электрона l. Цифра около линий, изображающих уровни энергий, дает значение главного квантового числа. Расстояние между уровнями по вертикали пропорционально разности энергий между ними в электрон-вольтах. На рис. 1 показаны переходы, разрешенные правилом отбора для орбитального квантового числа l ( l = ±1).

Правило отбора является следствием выполнения закона сохранения момента импульса при испускании кванта. Фотон также обладает собственным моментом – спином, равным 1 (в единицах ћ). При испускании фотон уносит из атома этот момент импульса, вследствие чего орбитальное квантовое число электрона l меняется на единицу.

Атомы большинства элементов представляют собой многоэлектронные системы. Атомные электроны находятся в усредненном электрическом поле, создаваемом ядром и остальными электронами. Состояние атома характеризуется квантовыми числами полного орбитального момента электронной оболочки L, полного спина S, а также полного момента атома J = L+S . Квантовое число L принимает значения, отличающиеся друг от друга на 1 в пределах между (∑li)max и (∑li)min, аналогично значения квантового числа

S лежат в пределах (∑ms)max и (∑ms)min. Для полностью заполненных оболочек L = 0 и S = 0.

Энергии Enl возбужденных состояний электрона в многоэлект-

где Zc – заряд атомного остова; n* – эффективное главное квантовое число возбужденного состоянияn* =n−δl; ; δl – называется квантовым дефектом. Величина квантового дефекта δl слабо зависит от n. Квантовый дефект δl характеризует отличие взаимодействия возбужденного электрона с атомным остовом от кулоновского взаимодействия. Это отличие возникает, главным образом, за счет поляризации остова и обменного взаимодействия возбужденного электрона с внутренними электронами, обусловленного тождественностью электронов.

На рис. 2 изображена схема энергетических уровней атома ртути. Цифры около горизонтальных отрезков дают значения главного квантового числа уровня энергии. Для наружного электрона атома ртути наименьшее значение квантового числа n = 6. Символами S,

23

–10 6

Рис. 2

P, D, F обозначаются энергетические состояния атома с различными значениями L (L = 0, 1, 2, 3). Цифры под буквами S, P, D и F указывают значение квантового числа J.

Необходимость введения квантового числа полного момента атома J = L+ S связана с тем, что в результате релятивистских эффектов уровень с данными значениями L и S расщепляется на ряд уровней с различными значениями J. Об этом расщеплении говорят, как о тонкой структуре (или мультиплетном расщеплении) уровня. Квантовое число J может принимать значения от L + S до |L–S|, поэтому уровень с данными значениями квантовых чисел L и S расщепляется на 2S + 1 (если L > S) или 2L + 1 (если L < S) различных подуровней.

В атоме с двумя валентными электронами полный спин может принимать два значения S = 0 и S = 1, так как каждый электрон

имеет спинs = 12 . Поэтому для двухвалентных элементов харак-

терны две системы уровней (см. рис. 2): система синглетных (одиночных) уровней при S = 0; J = L и система триплетных (тройных)

24

уровней при S = 1; J = (L + 1), L, (L–1). Верхний индекс над буквами S, P, D и F – «1» для синглетов и «3» для триплетов означает мультиплетность и равен 2S + 1. Переходы между энергетическими уровнями подчиняются правилам отбора для квантовых чисел J и L, которые гласят: J = 0±1; L = 0±1, причем переходы 0→0 запрещены.

Правилами отбора для атома ртути Hg разрешены, в частности, следующие переходы:

Справа внизу указаны значения J. Возможны также переходы между синглетными и триплетными уровнями.

Длины волн переходов (см. рис. 2) указаны в ангстремах (1Å = = 10–10 м).

Описание лабораторной установки

Лабораторная установка состоит из гониометра, дифракционной решетки и ртутной лампы. Гониометр – это оптический прибор, предназначенный для измерения с высокой точностью углов отклонения лучей. В работе используется гониометр типа Г-5. На массивном основании 1 (рис. 3) неподвижно установлен коллиматор 2, предназначенный для преобразования расходящегося пучка лучей в параллельный. Для наблюдения спектральных линий служит зрительная труба 3, укрепленная вместе с окуляром отсчетного устройства 4 на корпусе подвижной части прибора – алидады 5. На входе коллиматора расположена раздвижная щель 6, перед которой устанавливается источник света. Зрительная труба имеет на выходе окуляр 7. В остальном конструкции коллиматора и зрительной трубы одинаковы. Фокусировка зрительной трубы и коллиматора производится с помощью маховиков 8.

На вертикальной оси прибора смонтирован столик 9, на который устанавливается дифракционная решетка. Столик можно поворачивать грубо от руки, отпустив зажимной винт 10, и точно с помощью микрометрического винта 11, предварительно зажав винт 10.

25

Рис. 3

Порядок выполнения работы

1. Определяем длины волн спектральных линий.

Длины волн спектральных линий определяют с помощью гониометра и дифракционной решетки. Если дифракционная решетка освещается немонохроматическим светом, то излучение раскладывается в спектр. Длина волны спектральной линии может быть найдена исходя из условия наблюдения дифракционных максимумов

где d – постоянная решетки; k – порядок спектра; j – угол отклонения лучей.

Измерение углов производится в следующей последовательности.

ную решетку на столике 9 гониометра, располагая плоскость решетки перпендикулярно оптической оси коллиматора. Отпустив зажимной винт 13, мед-

ленно поворачивают алидаду и

Рис. 4

26

располагают ее так, чтобы оптическая ось зрительной трубы совпала с осью коллиматора.

Поворачивая алидаду от руки при отпущенном зажимном винте 13, добиваются, чтобы в поле зрения окуляра зрительной трубы попал центральный максимум. Меняя ширину входной щели 6, делают ее изображение как можно более узким. Если края максимума размыты, то производят фокусировку зрительной трубы и коллиматора с помощью маховичков 8.

С помощью микрометрического винта 14 совмещают перекрестие сетки окуляра с линией нулевого порядка и снимают отсчет угла, соответствующего положению центрального максимума j0.

Поворачивают алидаду вправо и влево от центрального максимума и находят спектр 1-го порядка.

Снимают отсчет углов ji для линий в спектре первого порядка источника излучения.

Вычисляют углы дифракции jдля каждой линии, j = |ji–j0|. Пользуясь формулой (6), рассчитывают длины волн λспектраль-

ных линий.

2. Анализируя спектр ртутной лампы, находим линии трипле-

та 73S1 →63P0,1,2 (фиолетовая, синяя и зеленая).

3. Рассчитаем энергии уровней тонкой структуры и определим длины волны триплетных переходов атомов ртути.

Пользуясь схемой энергетических уровней атома ртути, зная потенциал ионизации Ui и длину волны λ0 резонансного перехода

где E2 – энергия уровня73S1 , n = 7, R = 1,1· 107 м–1, Zc = 2.

Так как квантовый дефект δl слабо зависит от n, находят длины

волн переходов 83S1 →63P0,1,2, с использованием полученных значений δl.

27

4. Результаты измерений и расчетов заносим в табл. 1 и 2.

Вычисления проводят как для переходов, указанных на схеме (см. рис. 2), так и для спектральных линий, длины волн которых были измерены.

28

Лабораторная работа № 4

Определение удельного заряда электрона

Цель работы: определение удельного заряда электрона при помощи электронно-лучевой трубки и электронной лампы.

Методические указания

Удельным зарядом называется величина, измеряемая отношением электрического заряда электрона к его массе q/m.

На движущийся в магнитном поле заряд действует магнитная сила Лоренца

где q – заряд; v – его скорость; B – индукция магнитного поля. В случае движения электрона (q = e) перпендикулярно магнит-

так как B = μμ0 H. В вакууме и в воздухе относительная магнитная проницаемость μ = 1.

Поскольку сила FЛ перпендикулярна v и H , то движение электрона будет происходить по дуге окружности в плоскости, перпендикулярной H .

Сила Лоренца играет роль центростремительной силы FЛ = FЦ и, следовательно,

где m – масса электрона; R – радиус дуги окружности.

Скорость электрона можно определить, зная ускоряющую разность потенциалов U и работу электрического поля A, в котором электрон разгоняется, приобретая кинетическую энергию

A = eU = mv2 2 .

Тогда скорость электрона

29

Формула (5) может быть использована для расчета удельного заряда электрона.

Описание лабораторной установки

Лабораторная работа состоит из двух частей. Каждая часть выполняется на отдельном стенде, что позволяет определить величину e/m двумя различными способами.

1. Определение удельного заряда электрона при помощи элект- ронно-лучевой трубки.

Для получения пучка электронов и определения отклонения этого пучка в магнитном поле используется электронно-лучевая трубка. Устройство трубки схематически изображено на рис.1, где K – оксидный катод, подогреваемый вольфрамовой нитью, расположенной внутри катода; ФА – фо-

экран трубки ФЭ, вызывают появление светящегося пятна. При изменении траектории электронов пятно смещается.

Схема установки представлена на рис. 2, где Бн – источник питания накала катода; R – реостат для регулировки тока накала; U – источник высокого напряжения; V – вольтметр для измерения ускоряющего напряжения U; БФ – источник питания для подачи напряжения на фокусирующий анод ФА; П – потенциометр для регулировки фокусирующего напряжения.

В качестве отклоняющего магнитного поля используется горизонтальная составляющая магнитного поля Земли HЗ.

Несложно показать, что радиус кривизны траектории электронов R может быть определен из соотношения

30