Nefedov

Из приведенных выражений следует, что упругие свойства кристаллического кварца однозначно определяются шестью не-

зависимыми константами (c11, c12, c13, c14, c33, c44), а пьезоэлектрические свойства полностью задаются только двумя независи-

мыми модулями d11 и d14.

Из выражения (6) нетрудно выяснить и физический смысл каждого пьезоэлектрического модуля: модуль dijk определяет величину Sij деформации (пьезоэлектрической), при помещении кристалла в электрическое поле Е вектор напряженности которого параллелен оси Xk.

Резонансный метод измерения упругих и пьезоэлектрических свойств кристаллов

В данной работе используется один из наиболее точных и универсальных методов измерения упругих и пьезоэлектрических модулей кристаллов – метод резонанса и антирезонанса. Рассмотрим коротко идею этого метода.

Если пластину, вырезанную из кристалла, поместить в переменное электрическое поле, то вследствие обратного пьезоэлектрического эффекта в этой пластине возбуждаются механические деформации, меняющиеся с частотой, равной частоте возбуждающего электрического поля. Вследствие механических деформаций в кристалле (пластине) возникают упругие волны, причем каждой компоненте деформации будет соответствовать определенная волна: продольная волна (сжатия-разрежения) или поперечная волна (сдвига).

51

Таким образом, при помещении пластины пьезокристалла в переменное электрическое поле в ней возникает множество упругих волн с частотой, равной частоте изменения электрического поля. Причем эти волны распространяются в разных направлениях в кристалле. Скорость распространения упругих волн, а, следовательно,идлинаволны,определяетсявеличинойсоответствующего упругого модуля данного кристалла. Если при данной частоте электрического поля длина одной из упругих волн укладывается нечетное число раз в том размере пьезоэлектрической пластинки, вдоль которого она распространяется, то амплитуда этой волны резко возрастает, или иными словами, в пластинке наступает резонанс. Резонансные явления в пьезокристаллической пластинке обусловлены тесным взаимодействием прямого и обратного пьезоэлектрических эффектов.

При помещении пьезоэлектрика во внешнее электрическое поле вследствие обратного пьезоэффекта пьезоэлектрик будет деформироваться. Но эта деформация вследствие прямого пьезоэлектрического эффекта, будет сопровождаться появлением собственного наведенного электрического поля, которое накладывается на внешнее электрическое поле. В зависимости от типа деформации и прочих условий собственное электрическое поле может как усиливать, так и ослаблять внешнее поле, что и создает предпосылки для резонансных явлений.

Если поле пьезоэлектрической деформации находится в фазе с внешним электрическим полем, то амплитуда колебаний резко возрастает, ток смещения, протекающий через пьезоэлектрическую пластину, достигает максимальной величины, а частота внешнего поля fR, соответствующая этому случаю, называется

частотой резонанса.

Наоборот, если поле пьезоэлектрической деформации и внешнее электрическое поле находятся в противофазе, то ток смещения имеет минимальное значение, а сопротивление пластины переменному току достигает максимального значения. Частота fА, соответствующая этому случаю, называется частотой антире-

зонанса.

L C R

C0

Рис. 2. Эквивалентная схема пьезоэлектрической пластины

52

Электрические свойства пьезоэлектрических пластин, помещенных во внешнее переменное электрическое поле, можно описать эквивалентной электрической схемой, приведенной на рис. 2, где последовательный колебательный контур L, C, R характеризует резонансные свойства пластины, и его резонансная частота равна

fR = 2π 1LC ,

а емкость C0 – есть собственная емкость пластины с нанесенными на ее поверхность металлическими электродами.

Собственная емкость C0 совместно с элементами L, C, R образует параллельный колебательный контур. Резонансная частота этого параллельного контура может быть определена как

Обычно (fA – fR )/ fR << 1, поэтому в области резонансных частот сопротивление пластины изменяется очень сильно при незначительных изменениях частоты внешнего поля.

Из сказанного выше следует, что резонансные частоты пьезоэлектрической пластины должны определяться ее размерами, пьезоэлектрическим и упругими модулями ее кристалла. Поэтому производя измерения резонансных частот пьезоэлектрических пластин, определенным образом вырезанных из кристалла, можно вычислить все упругие и пьезоэлектрические модули данного кристалла. Обычно на каждой такой пластинке удается определить значения не более одного пьезоэлектрического и одного упругого модулей.

В работе исследуются упругие и пьезоэлектрические свойства кристалловкварца,которыйширокоприменяетсявэлектронной технике в качестве материала для прецизионных резонаторов и фильтров. Кварц относится к кристаллам гексагональной сингонии; его упругий тензор имеет шесть независимых компонент, а пьезоэлектрический модуль – две независимые компоненты. Таким образом, для определения всех упругих модулей кварца нужно исследовать резонансные частоты, по крайней мере, шести пластин (срезов) с различной ориентацией относительно кристаллографических осей.

53

В работе такие исследования проводятся на четырех однотипных XYs/α срезах, представляющих собой (при α = 0) тонкие длинные бруски с толщиной вдоль оси X, длиной вдоль оси Y и шириной вдоль оси Z. Правило обозначения срезов приведено в примечании.

При α ≠ 0 ориентация пластины соответствует срезу XYs/α, повернутому вдоль оси X на угол α. При приложении к пластине внешнего электрического поля вдоль оси X (E = E1, E2 = E3 = 0) из уравнения (7) получим

Sn = dnkEk = d1nE1,

где n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

При этом в пластине возбуждаются деформации S1 = d11E1, S2 = –d11E1, S4 = d14E1, что следует из математической записи тензора пьезоэлектрических модулей. Поэтому основным типом механических колебаний в вырезанных брусках рассматриваемых срезов, будут продольные колебания (растяжения-сжатия) по длине брусков, связанные с деформацией S2, причем резонансная частота этих колебаний fR определяется соотношением

где l – длина бруска; ρ – плотность кварца; s′22(α) = s′2(α) – эффективное значение упругой податливости (в матричных обозна-

чениях) повернутого вдоль оси X на угол α среза XYs/o.

Зная вид тензора податливости кристалла smn (m, n = 1,2,3,3,5,6) кварца и используя правила преобразований компонент тензора при поворотах осей координат, можно получить следующее общее выражение для s′22(α):

−2s14 sin(α)cos3(α),

где s11, s12, s13 и т. д. – независимые упругие податливости кварца.

Из измерений fR различных XYs/α-срезов можно определить лишь следующие независимые упругие константы кварца: s11, s14, s33, s0 = (2s13 + s44). Для определения двух других независимых упругих постоянных необходимо брать срезы другого типа, например с толщиной по оси Y или оси Z. Причем для опреде-

54

ления указанных постоянных необходимо брать не менее четырех XY/α-срезов с различными углами поворотов относительно кристаллографических осей и определять для каждого из них fR, s′ij (α), а затем решать полученную систему алгебраических уравнений.

Пусть для измерений используются XY/α-срезы с α1 = 0, α2 = 30°,α3 = 45°, α4 = –45°. Из измерений fR продольных колебаний по длине (самый низкочастотный из резонансов, так как l – наибольший размер пластины) с помощью формулы (10) определяем s′22 (αp)), где p = 1,2,3,4 и, подставляя найденные значения s′22 (αp) получаем систему из четырех алгебраических уравнений для определения s11, s12, s44, s0:

Итак, с помощью уравнений (11) – (13), зная резонансные час-

можно вычислить четыре независимых модуля упругой податливости кварца.

Аналогичным образом находятся независимые пьезомодули кварца – d11 и d14. Эффективное значение пьезомодуля XYs/α- среза d′12(α) определяется с помощью измеренных частот резонанса fR и антирезонанса fA продольных колебаний по длине

55

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость кварца; d′12(α) выражается через d11 и d14. следующим образом:

Для XYs/α-срезов кварцевых пластин, используемых в лабо-

Yния срезов. Используемые в работе срезы кристаллов являются повер-

рота: первая буква – вдоль какой оси направлена толщина s, вторая – вдоль какой оси направлена длина l. Далее следуют индексы: буквы s,b или l означают вокруг каких сторон поворачивается срез, цифры – на какой угол (« + » – против часовой стрелки, « – » – по часовой стрелке). Например, срез XYs/50° – означает, что в исходном положении толщина s направлена вдоль Х, а длина вдоль Y, поворот вокруг s против часовой стрелки на угол 50° (рис. 3).

2. Порядок выполнения лабораторной работы

Объект исследования

В лабораторной работе исследуются пьезоэлектрические

свойства кварцевых пластин 4-х срезов: XYs/38,5°; XYs/40,5°;

XYs/50°; XYs/38°.

56

Схема лабораторной установки

Схема лабораторной установки приведена на рис. 4. Схема собрана в корпусе, в верхней части которого размещен кварцедержатель с четырьмя пластинами срезов (XYs/38,5°; XYs/40,5°; XYs/50°; XYs/38°, подключение которых в измерительную схему осуществляется нажатием кнопочных переключателей, расположенных на передней панели корпуса.

Рис. 4. Схема лабораторной установки

Сигнал от генератора стандартных сигналов Г4-42 через переключатель ВКЛ.ВЧ подается на кварцевую пластинку, и напряжение, пропорциональное току через пластину регистрируется ламповым вольтметром В3-3. Одновременно осуществляется измерение частоты сигнала генератора Г4-42 с помощью электрон- но-счетного частотомера Ч3-32.

Генератор Г4-42 используется для получения гармонических сигналов, в диапазоне частот от 12 кГц до 10 МГц. Для установки необходимой частоты генератора он имеет переключатель поддиапазонов частот и шкалу настройки. При исследовании образцов частота измеряется с помощью частотомера Ч3-32.

Порядок выполнения экспериментальной части работы

В исходном состоянии выключатели электропитания всех измерительных приборов должны находиться в положении ВЫКЛ.

1. Подготовка к работе генератора сигналов Г4-42:

57

–переключатель вида модуляции поставить в положение ВНЕШН.МОД.;

–тумблер ГЕН. ВЧ поставить в положение ВКЛ;

–тумблер УРОВЕНЬ К-М % поставить в положение М %;

–переключатель ДИАПАЗОНЫ поставить в положение III (85 – 300 кГц).

2. Подготовка к работе лампового вольтметра В3-3:

–переключатель ПРЕДЕЛЫ поставить в положение 300 мВ; 3. Подготовка к работе частотомера Ч3-32:

–переключатель ВИД РАБОТЫ поставить в положение fA;

–переключатель ВРЕМЯ СЧЕТА S поставить в положение 1;

–тумблер ГЕНЕРАТОР поставить в положение ВНУТР.;

–тумблер ВРЕМЯ ИНДИКАЦИИ поставить в положение

АВТ.

Включите вилки питания всех приборов в розетки и переключатели электропитания всех приборов и установите в положение ВКЛ; дайте приборам прогреться 15 – 20 мин.

4. Получите у преподавателя задание для исследований. Необходимо исследовать два образца (табл. 1).

5. Измерьте частоты резонанса fR и антирезонанса fA

–нажмите на макете клавиши УРОВЕНЬ ВЧ и ВКЛ. ВЧ (клавиши утоплены) и с помощью ручки УСТАНОВКА УРОВНЯ «К» на генераторе Г4-42 установите то вольтметру В3-3 уровень сигнала 200 мВ. При дальнейших измерениях уровень сигнала не изменять. Отожмите клавишу УРОВЕНЬ ВЧ на макете;

–подключите заданный для измерения образец к измерительному прибору, нажав клавишу, соответствующую номеру образца;

–установите ручкой f генератора Г4-42 начальную частоту: для образцов 1 и 2 – 200 кГц, для образца 3 – 270 кГц, для образца 4 – 220 кГц. Затем, медленно увеличивая частоту (вращение ручки против часовой стрелки) ручкой ПЛАВНОЙ НАСТРОЙ-

КИ, добейтесь максимального показания вольтметра UR (при зашкаливании стрелочного прибора необходимо изменить предел измерения);

58

–отсчитайте по шкале частотомера Ч3-32 значение частоты

резонанса fR, соответствующей максимальному показанию вольтметра; запишите показания частотомера и вольтметра в таблицу (для частоты резонанса);

–продолжая МЕДЛЕННО увеличивать частоту генератора Г4-42, добейтесь минимального показания вольтметра UA;

–отсчитайте по шкале частотомера Ч3-32 значение частоты

антирезонанса fA, соответствующей минимальному показанию вольтметра; запишите показания частотомера и вольтметра в таблицу (для частоты антирезонанса);

–проделайте аналогичные измерения для второго образца, указанного в задании;

–результаты измерений запишите в табл. 2.

6. Измерьте амплитудно-частотную характеристику:

– для одного из заданных образцов измерьте напряжение выходного сигнала для различных частот входного сигнала: 3 точки до fR, 2 точки между fR и fA и 3 точки после fA; результаты измерений представьте в виде таблицы и графика.

Обработка результатов измерений

По результатам измерений (табл. 2) с помощью формул (17), (18) и (19) рассчитайте пьезоэлектрические модули кварца. При расчете используйте следующие параметры образцов и значения физических констант: l = 1,24 10–2 м – длина образца; ρ = 2,655 103 кг/м3 – плотность образца; ε = 4,65 – относительная диэлектрическая проницаемость кристалла кварца; ε0 = 8,85 10–12 Ф/м – диэлектрическая постоянная; d11, d14 – определяются из системы уравнений, составленных для двух заданных образцов с различными срезами.

59

3. Содержание отчета

1.Цель работы.

2.Схема измерений и перечень используемых приборов.

3.Результаты измерений.

4.Расчетные формулы (в том числе, и система уравнений для нахождения d11, d14 ) и результаты расчетов.

5.Выводы.

Контрольные вопросы

1.Объяснить природу пьезоэлектрического эффекта.

2.Какие требование предъявляются к симметрии пьезоэлектриков?

3.Почему кварц имеет только два независимых пьезомодуля?

4.Что характеризует пьезомодули d11, d14?

5.Объясните принцип резонансного метода измерения упругих и пьезоэлектрических свойств.

Рекомендуемая литература

1.Шаскольская М. П. Кристаллография: учебник для втузов. М.: Высш. шк., 1986. 391 с.

2.Гусев О. Б., Кулешов Ю. С., Нефедов В. Г., Шакин О. В. Физические основы функциональной микроэлектроники: учебное пособие / ЛИАП. Л., 1989. 50 с.

Лабораторная работа № 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Цель работы: определить ширину запрещенной зоны селенида цинка (ZnSe) и фосфида галлия (GaP) путем изучения спектра их оптической прозрачности в диапазоне волн 640 – 400 нм.

1.Методические указания по подготовке

квыполнению работы

Основой современных представлений о механизмах различных явлений, происходящих в твердом кристаллическом веществе при воздействии на него электромагнитного поля, является зонная теория. Зонная теория твердого тела – это теория валентных электронов, движущихся в периодическом потенциальном поле кристаллической решетки.

60