фарафонов теория вероятностей

D[ξ]=02 ×0,125+12 ×0,375+22 ×0,375+32 ×0,125-1,52 =0,75.

Как и следовало ожидать, наши результаты совпадают со значениями, полученными ранее для распределения Бернулли:

Пример 7.2. Восстановить закон распределения дискретной случайной величины (т.е. определить x1, x3, p2),

Решение. Для отыскания трёх неизвестных x1, x3, p2 нужно составить систему трех уравнений.

Третье уравнение получим, воспользовавшись условием норми-

3

ровки åpi =1, которое дает

i=1

0,5+ p2 +0,3=1.

Кроме того, так как значения x1, x2, x3 пишутся в возрастающем порядке, то у нас имеется еще одно неявное условие:

x1 <0< x3.

Таким образом, получаем систему уравнений

0,5× x1 +0,3× x3 =-0,2,üï

ï

ï

0,5× x12 +0,3× x32 =0,8, ïý

ï

ï

0,5+ p +0,3=1, ï

2 ïþ

(x1 <0< x3).

51

Требуется найти функцию распределения Fξ(x), построить графики обеих функций, вычислить вероятность события {ξ ≥ 0}, а также математическое ожидание mξ и дисперсию Dξ случайной величины ξ.

Решение. Константу С находим из условия нормировки

¥

ò fξ(x)dx=1,

Отсюда С = 32. Функция fξ(x) представлена на рис.7.3. fξ(x)

4/3

2/3

0 1 2 x

Рис. 7.3. График плотности вероятности fξ(x)

При вычислении функции распределения Fξ(x) по формуле (7.13), следует иметь в виду, что плотность fξ(x) задаются различными формулами на трех интервалах (см. (7.23)).

В соответствии с этим различаются аналитические выражения для функции распределения Fξ(x):

а) при xÎ(-¥;1):

52

xx

Fξ(x)= ò fξ(x)×dx=ò 0×dx=0;

-¥ -¥

Функция распределения Fξ(x) представлена на рис. 7.4.

Fξ(x)

1

0 1 2 x

Рис. 7.4. График функции Fξ(x)

Вероятность события {ξ ≥ 0}следующим образом:

¥

p(ξ³0)= ò fξ(x)×dx= F(¥)-F(0)=1.

0

Математическое ожидание в соответствии с формулой (7.15) и предыдущим замечанием о различном представлении fξ(x) на разных интервалах имеет вид

53

Дисперсию Dξ определяем по формуле (7.18):

Пример 7.4. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 67 и среднеквадратичным отклонением σ = 7. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который рав-

на p = 0,96.

Решение. Будем искать интервал в виде a±t×σ. Тогда по условию:

Обратимся к таблице значений функции Лапласа (см. табл. 2 в приложении). Найдём значение аргумента, при котором функция Φ(t)= 0,48. В результате получим t = 2,06.

Теперь можно строить интервал:

p(65-2,06×5<ξ<65+2,06×5)=0,96.

Окончательно получим

p(54,7<ξ<75,3)=0,96.

54

8. Системы дискретных случайных величин

Система случайных величин (ξ1, ξ2,¼, ξn) возникает в том случае, когда на одном и том же вероятностном пространстве (Ω, A, р) заданы несколько случайных величин:

ξ1 = ξ1(ω), ξ2 = ξ2(ω),¼, ξn = ξn(ω).

8.1. Закон распределения системы дискретных случайных величин

Определение. Законом распределения системы двух дискретных случайных величин (дискретной двумерной случайной величины) (ξ, η) называется набор (конечный или бесконечный) возможных значений (xi, yj) и их вероятностей:

при этом должно выполняться условие нормировки

åpij = 1. i, j

Обычно распределение дискретной двумерной случайной величины (закон распределения) задают в виде таблицы.

Для системы двух дискретных случайных величин существует связь между распределением (8.1) и функцией распределения Fξη(x, y)=åpij , где суммирование проводится только по тем парам индексов (i, j), для которых выполняются условия

xi < x и yj < y.

В общем случае вероятность попадания двумерной случайной величины (ξ, η) в произвольную область G вычисляется по формуле

55

где суммирование проводится по тем парам индексов (i, j), для которых соответствующие точки (xi, yj) принадлежат области G.

8.2. Частные и условные распределения системы двух дискретных случайных величин

Пусть известно совместное распределение системы двух дискретных случайных величин (ξ, η):

pij = p(ξ=xi, η=yj).

Распределения для каждой из случайных величин называются частными распределениями для системы двух случайных величин. Эти распределения находятся следующим образом:

pi(ξ) = p(ξ=xi)= p((ξ=xi)Ç( (η=yj)))= j

= p( ((ξ=xi)Ç(η=yj)))=åp(ξ=xi, η=yj)=åpij, (8.3) j j j

так как объединение всех событий (η=yj) есть достоверное собы-

тие (η = yj)=U, а события (η=yj1 ) и (η=yj2 ) при различных j

индексах j1 и j2 являются несовместными. Учитывая, что вероятность объединения несовместных событий равна сумме вероятностей, получаем соотношение (8.3).

Аналогично определяется частное распределение случайной величины η:

Определение. Условным распределением случайной величины

ξ при η = yj называется совокупность условных вероятностей событий (ξ = xi):

вычисленных в предположении, что событие (η=yj) уже наступило (p(jη) = P(η=yj)>0). Индекс j имеет одно и то же значение при всех значениях случайной величины ξ.

Аналогично определяется условное распределение случайной величины η при условии, что ξ = xi (pi(ξ) >0).

Зная совместное распределение системы двух дискретных случайных величин, можно найти условное распределение:

56

Здесь используется определение условной вероятности события

где pi(ξ) вычисляются по формуле (8.3).

8.3. Условия независимости двух случайных величин

Определение. Случайные величины x и h называются независимыми, если распределение одной случайной величины не зависит от того, какое значение принимает другая случайная величина.

Это определение эквивалентно следующему: случайные величины x и h независимы, если для любых x, y справедливо условие

Fξη(x,y)= p(ξ<x, η<y)= p(ξ<x)× p(η<y)=Fξ(x)×Fη(y), (8.8)

т.е. события (ξ< x) и (η<y) являются независимыми при любых значениях x и y.

Для дискретных случайных величин условие независимости (8.8) можно записать в виде

В случае системы двух независимых случайных величин условные распределения совпадают с частными (безусловными) распределениями.

Если случайные величины являются дискретными, то:

при этом использовались соотношения (8.6) и (8.9).

57

В случае непрерывных случайных величин получаем

при этом использовались соотношения (8.10).

Замечание. Полученные выше соотношения, как и соотношения (8.9), (8.10), являются условиями независимости случайных величин x и h эквивалентными определению независимости случайных величин (8.8).

Таким образом, для проверки независимости двух случайных величин достаточно определить частные распределения и, зная совместное распределение, проверить выполнение соотношений (8.9) или (8.10). Если эти соотношения справедливы при любых индексах i и j (соответственно при любых значениях переменных x и y), то случайные величины являются независимыми. В противном случае они являются зависимыми.

58

9. Числовые характеристики систем случайных величин

9.1. Математические ожидания и дисперсии для системы случайных величин

Подробный анализ понятия математического ожидания случайной величины и его свойств дан в шестом разделе. Математическое ожидание M дискретной случайной величины ξ вычисляется по формуле

i

при этом математическое ожидание существует, если ряд (9.1) сходится абсолютно, т.е. å xi × pi <¥.

i

Математическое ожидание дискретной случайной величины ξ можно найти, зная совместное распределение системы двух случайных величин (ξ, η). Для этого необходимо воспользоваться выражением для частного распределения (8.3):

Аналогично находим математическое ожидание другой случайной величины

В случае непрерывных случайных величин математическое ожидание определяется с помощью интегрирования.

Математическое ожидание дает среднее значение случайной величины, а дисперсия является характеристикой отклонения случайной величины от своего среднего значения.

Для дискретных случайных величин, используя определение математического ожидания, получим

Dξ =åxi2× pij -(Mξ)2 =ååxi2× pij -(Mξ)2,

ii j

59

9.2. Корреляционная матрица двух случайных величин

Математическое ожидание и дисперсия являются числовыми характеристиками каждой из случайных величин системы в отдельности. Корреляционный момент – числовая характеристика системы случайных величин.

Определение. Корреляционным моментом Kξη случайных величин x и h называется математическое ожидание произведения центрированных случайных величин, т. е.

Если раскрыть это выражение и использовать свойства математического ожидания, то получим более пригодную для практических расчетов формулу

В случае дискретных случайных величин математическое ожидание представляется в виде суммы:

Если же случайные величины xи h являются непрерывными, то суммы следует заменить интегралами.

Свойства корреляционного момента:

1)Kξη = Kηξ ;

2)Kξξ = Dξ ;

3)Kξη £ Dξ × Dη = σξ ×ση.

Совокупность корреляционных моментов и дисперсий определяет корреляционную матрицу системы случайных величин:

Из свойств корреляционного момента следует симметричность этой матрицы, а также ее положительная определенность:

i, j

где x=ççæçx1÷ö÷÷ – произвольный двумерный вектор.

èx2ø

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин x и h называется число

60