Пределы и производная КР №1
.pdf
p = l i m |
|
|
30x |
|
|
= l i m |
30 |
|
= |
|
30 |
= 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
5x + 2 |
x |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. 2-й способ. Воспользуемся свойством непрерывности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
логарифма: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 7 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 7 |
6x |
|
|
|
|
|
|
|
5x + 7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
p = l n l i m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= l i m l n |
|
|
|
|
|
= l i m 6x l n |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
5x + 2 |
|
5x + 2 |
|
5x + 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Преобразуем дробь, выделив целую часть: |
|
5x + 7 |
= 1+ |
5 |
. При x→∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 2 |
|
|
5x + 7 |
||
функция |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
является |
|
бесконечно |
|
малой. |
Воспользовавшись «вторым |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
замечательным пределом», получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l n 1 + |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
l i m |
5x + 2 |
= 1. Преобразуем формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l n 1 + |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6x l n 1+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
6x |
|
|
|
5x + 2 |
|
|
. Второй сомножитель стремится к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5x + 2 |
|
|
|
5x + 2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 при x→∞, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
p = l i m 6x |
|
5 |
|
|
|
|
= |
l i m |
|
30x |
= l i m |
|
30 |
|
|
= |
30 |
= 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5x + 2 |
5x + 2 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 5. |
Вычислите предел l i m |
|
ar csi n3x |
|
1 |
|
6x |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x e4x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. 1-й способ. При x→0 функции 3x, −6x, 4x являются бесконечно малыми. Из таблицы эквивалентных функций получаем, что
arcsin3x~3x, |
|
|
|
|
|
|
6x 1/ 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3x, e4x−1~4x. Следовательно, |
|||||||||||||||||
1 6x |
1 = 1 |
|
1 |
6x |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ar csi n3x |
1 6x |
1 |
|
|
|
|
3x |
3x |
|
|
9x |
2 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
l i m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= l i m |
|
= l i m |
|
|
= |
= |
2,25. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 0 |
|
x e4x |
1 |
|
|
|
|
x 0 |
|
x 4x |
|
x 0 4x2 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: −2,25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. 2-й способ. При x→0 |
функции 3x, −6x, 4x являются |
||||||||||||||||||||||||||||||||
бесконечно малыми. Воспользуемся «замечательными пределами»: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ar csi n3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6x 0,5 1 |
|
|
e4x 1 |
= 1. |
|
||||||||||||||
l i m |
= 1, |
|
l i m |
|
|
1 6x |
|
|
1 |
= l i m |
= 0,5, |
l i m |
Теперь |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 0 |
3x |
|
x 0 |
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
6x |
|
|
|
|
|
x 0 |
4x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
преобразуем выражение, разделив и умножив числитель на 3x и −6x, а знаменатель — на 4x. Получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar csi n3x 1 |
6x |
1 |
|
|
|
|
|||||
ar csi n3x |
1 6x |
1 |
|
3x 6x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
3x |
|
|
|
|
|
6x |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x e4x |
1 |
|
x |
e4x |
1 |
|
|
|
x 4x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11
Первый |
сомножитель |
при x→0 стремится к |
1 0,5 |
= 0,5, |
второй |
|||||
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сомножитель |
при x 0 равен |
−4,5. Перемножая, получаем |
ответ |
задачи: |
||||||
0,5·(−4,5)=−2,25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: −2,25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 6. Даны дифференцируемые функции f(x), g(x), и h(x), |
такие, |
|||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(0)=2, f’(0)=5, g(0)=3, g’(0)=−3, h(0)=1, h’(0)=−1. Вычислить с |
||||||||||
помощью правила Лопиталя предел l i m |
f x h x |
1 |
. |
|
|
|
|
|||
g x |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Правило Лопиталя для вычисления предела в точке применяется, если значения числителя и знаменателя в этой точке равны 0. Это условие выполнено: f(0)·h(0)−2=2·1−2=0, g(0)−3=3−3=0. Применяя правило Лопиталя и правило дифференцирования произведения, получаем, что
l i m |
f x h x 2 |
= l i m |
f x h x 2 |
= l i m |
f x h x + f x h x |
. |
|
|
|
||||
x 0 |
g x 3 |
x 0 g x 3 |
x 0 |
g x |
||
|
|
|
||||
При x=0 числитель последней дроби равен 5·1+2·(−1)=3, ее знаменатель равен −3. Так как знаменатель не обращается в 0, то
li m |
f x h x + f x h x |
= |
3 |
= 1. |
|
g' x |
3 |
||||
x 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
Ответ: −1.
2. Вычисление производных
Весь теоретический материал, необходимый для решения задач второй и третьей частей пособия изложен в учебниках, перечисленных в конце настоящего пособия [1,2]. Рекомендуем также воспользоваться электронным учебником В.А.Вешев “Производная и дифференциал”, размещенным в системе СДО ГУАП.
Решение задач этой части пособия основано на применении формул вычисления производных суммы, произведения, частного, сложной функции. Используется также формула логарифмического дифференцирования. Необходимо повторить указанную теорию.
Задача1. |
|
Вычислите |
производную |
функции |
|
y = x2 + x 8 4 |
|
|
|
|
|
5 |
8x + 4ar ccos 4x . |
|
|
||
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования суммы:
y = x2 + x 8 ' 4
5 8x ' + 4ar ccos 4x '.
Производная первого слагаемого равна 2x+1. Для вычисления производной второго слагаемого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции и формулой производной степенной функции xα при α=1/4:
12
4 |
|
' = 5 8x |
1/ 4 ' = |
1 |
5 8x 3/ 4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
5 8x |
5 8x ' = |
|
|
8 = |
|
|
|
. |
||||||||
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
4 4 5 |
8x |
4 5 |
8x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Производная третьего слагаемого вычисляется с помощью правила дифференцирования сложной функции и формулы производной функции arccos x:
4ar ccos 4x |
' = 4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
4x ' = |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4x 2 |
1 |
|
16x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, |
y' = 2x + 1+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16x 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
8x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: 2x + 1+ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
1 |
|
|
16x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
5 8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2. |
Вычислите производную функции y = si n 4x + 3 ln 5x 1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Найдем производные сомножителей: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
si n 4x + 3 |
' = cos 4x + 3 4x + 3 ' = 4cos 4x + 3 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln 5x 1 ' = |
|
5x 1 ' = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5x 1 |
5x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Применяя правило дифференцирования произведения, получаем ответ задачи:
y' = si n 4x + 3 'ln 5x 1 + si n 4x |
1 ln 5x 1 '=4cos 4x + 3 ln 5x |
1 + |
5si n 4x + 3 |
. |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
5x 1 |
|
Ответ: 4cos 4x + 3 ln 5x 1 + |
5si n 4x + 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5x 1 |
|
|
|
|
|
Задача 3. Вычислите производную функции y = |
e 3x +2 |
. |
|
|||
4x 3 |
|
|
||||
|
|
|
2x 1 |
|||
Решение. Найдем производные числителя и знаменателя:
e 3x +2 ' = e 3x +2 3x + 2 ' = 3e 3x +2,
4x 3 2x 1 ' = 12x2 2.
Применяя правило дифференцирования частного, получаем ответ задачи:
|
|
e 3x +2 ' 4x 3 |
2x 1 e 3x +2 4x 3 |
2x 1 ' |
|
|
||||||
y' = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
4x 3 |
2x |
1 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3e 3x +2 4x 3 |
2x 1 e 3x +2 12x2 |
2 e 3x +2 12x 3 |
12x2 + 6x + 5 |
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
4x 3 2x 1 2 |
|
|
|
4x 3 |
2x 1 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
e 3x +2 |
12x 3 |
12x2 + 6x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
4x 3 |
2x |
1 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 4. Вычислите производную функции y = ar ct g ln ct g 3x + 3 . Решение. Применим правило дифференцирования сложной функции к
y = ar ct g y1 x , где y1 = ln ct g 3x + 3 . Получаем, что y' = 1+1y12 y1'.
13
|
Теперь найдем y1'. Для этого снова воспользуемся правилом |
|||||||||||||||||||||||||
дифференцирования сложной |
функции, |
на этот |
раз применяя его к |
|||||||||||||||||||||||
y |
= ln y x |
, где y x = ct g 3x + 3 . Получаем, что y ' = |
1 |
y '. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
Наконец, найдем y2' : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ct g 3x + 3 ' = |
|
1 |
|
3x + 3 ' = |
3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
si n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x + 3 |
|
|
|
|
|
si n2 3x + 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Подставляя y1 , y2 , y1 , y2' , вычисляем ответ: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y' = |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1+ l n2 ct g 3x + 3 |
|
|
ct g 3x + 3 |
|
|
si n2 3x + 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1+ l n2 ct g 3x + 3 ct g 3x + 3 si n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Можно упростить ответ, воспользовавшись равенством |
|||||||||||||||||||||||||
|
ct g 3x + 3 si n2 3x + 3 = cos 3x + 3 si n 3x + 3 = |
1 |
si n 2 3x + 3 |
= |
1 |
si n 6x + 6 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y' = |
6 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1+ l n2 ct g 3x + 3 si n 6x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ответ: |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1+ l n2 ct g 3x + 3 si n 6x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Задача 5. Вычислите производную функции y = |
ln4x cos5x . |
||||||||||||||||||||||||
Решение. Применим правило логарифмического дифференцирования:
y' = y lny = ln4x cos5x ln ln4x cos5x .
По свойству логарифма ln ab b ln a получаем, что
ln ln4x cos5x = cos 5x ln ln4x .
Продифференцируем полученное выражение, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения. Вычислим производные сомножителей:
cos5x ' |
si n5x |
5x ' |
5si n5x, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln l n4x ' = |
1 |
ln4x ' = |
1 1 |
4x ' = |
1 1 |
4 = |
1 |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
l n4x |
ln4x 4x |
ln4x 4x |
xln4x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos5x ln ln4x |
= cos5x 'ln ln4x |
+ cos5x ln ln4x |
= |
|
|
|||||||||
=5si n5x l n l n4x + cos5x .
xl n4x
Таким образом,
y' = ln4x cos5x |
5si n5x ln ln4x + |
cos5x |
. |
|
|
|
|||||
|
|
xln4x |
|||
Ответ: ln4x |
cos5x 5si n5x ln ln4x + |
cos5x |
. |
||
|
|||||
|
|
|
|
xln4x |
|
3. Применение производной к исследованию функции
14
Теоретический материал включает в себя уравнения асимптот графика, необходимое и достаточное условие существования экстремума, необходимое и достаточное условие монотонности функции, необходимое и достаточное условие существования точки перегиба, промежутки выпуклости функции. Также применяется теорема о достижении наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке.
Задача 1. Построить график функции y = |
12x2 123x + 306 |
. |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
Решение. 1-й способ. Исследуем функцию. Чтобы упростить |
||||||||
вычисления, преобразуем формулу: |
|
|
||||||
y = 3 |
4x2 41x + 102 |
. |
|
|
|
|
||
x 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Также при исследовании функции будет полезна формула с |
||||||||
выделенной целой частью: |
|
|
||||||
y = 3 4x 33 + |
36 |
|
= 12x 99 + |
108 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x 2 |
|
x 2 |
|
|
||
1)Область определения.
Знаменатель обращается в 0 в точке 2, поэтому функция y определена
на ;2 2; + .
2)Точки пересечения с осями.
Корнями функции y являются корни уравнения 4x2−41x+102=0, это
числа 6 и 4 14 .
Следовательно, график функции пересекается с осью абсцисс в точках
(6; 0) и |
4 |
1 |
; 0 . |
|
4 |
||||
|
|
|
Значение функции в точке 0 равно
y 0 = 3 |
4 02 41 0 + 102 |
= 153, |
||
0 |
2 |
|||
|
|
|||
поэтому график пересекается с осью ординат в точке (-153; 0).
3)Знаки на интервалах.
Чтобы узнать знаки функции, применим метод интервалов. Корни
числителя — это 6 и 4 |
1 |
|
, знаменатель имеет единственный корень 2, все корни |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не кратные, |
поэтому знаки функции на интервалах |
; 2 , |
2; 4 |
1 |
, 4 |
1 |
; 6 |
и |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
||
6; + чередуются. Вычисляя значение в произвольной точке выясняем, что |
|
|||||||||||||||
y>0 на |
2; 4 |
1 |
6; + |
и y<0 на |
; 2 4 |
1 |
; 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4)Поведение на бесконечности.
Числитель и знаменатель функции y — многочлены, причем степень числителя больше, чем степень знаменателя, поэтому l i m y x = . Учитывая
x
знаки на интервалах, получаем, что
li m y x = |
и l i m y x = + . |
x |
x + |
5)Асимптоты.
15
Функция 4x2−41x+102 не обращается в 0 в точке x=2, знаменатель
функции |
равен |
0 при |
x=2, |
следовательно, li m y x |
= . Это |
означает, что |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
прямая x=2 является вертикальной асимптотой. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Из |
формулы |
|
y = 12x |
99 + |
108 |
|
видно, |
что |
прямая |
y |
= 12x |
99 |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
асимпт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
является наклонной асимптотой. Действительно, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
li m |
y x y |
|
x |
= li m |
108 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
асимпт |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
этом |
разность |
y x |
|
y |
x = |
108 |
|
отрицательна при |
x<2 |
и |
||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
асимпт |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
положительна при x>2, откуда следует, что при x<2 график функции лежит ниже наклонной асимптоты, а при x>2 — выше ее.
6) Интервалы монотонности и экстремумы. Найдем производную функции y:
y' = 12x 99 + |
108 |
' = 12 |
108 |
|
= |
12 x |
2 2 108 |
= 12 |
x |
2 2 9 |
. |
Корнями |
||
x 2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
x 2 |
|
x |
2 |
|
|
x 2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
функции y’ являются корни уравнения (x−2)2−9=0,, это числа −1 и 5. Методом интервалов выясняем, что
y' > 0 |
на |
; 1 5; + , |
y' < 0 на |
1;2 2;5 . |
|
Таким образом, функция y возрастает на интервале (−∞;1], убывает на интервале [1;2), убывает на интервале (2;5], возрастает на интервале [5;+∞).
В точках xmin=5 и xmax=−1 достигаются минимум и максимум соответственно. Найдем значения функции в этих точках:
y |
= y 5 = 12 5 |
99 + |
108 |
= |
3, |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||
min |
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
= y |
1 = 12 |
1 |
99 + |
108 |
|
= 147. |
|||||||
|
|
|||||||||||||
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
Выпуклость/вогнутость и точки перегиба. |
|||||||||||||
Найдем вторую производную функции y: |
||||||||||||||
y'' = |
12 |
108 |
|
' = |
2 108 |
|
= |
216 |
. |
|||||
x 2 2 |
|
|
|
2 3 |
||||||||||
|
|
|
x |
2 3 |
|
|
|
x |
|
|||||
Функция y’’ не имеет корней, и y’’>0 на (2;+∞),
y’’<0 на (−∞;2).
Следовательно, функция y не имеет точек перегиба, и y выпукла на (2;+∞),
y вогнута на (−∞;2).
График функции показан на Рис. 1.
16
Рис. 1 |
|
|
График функции y = |
12x2 123x + 306 |
|
x 2 |
||
|
17
Задача 2. На промежутке [−6; 12] найти наибольшее и наименьшее
значение функции y = |
5x + 115 |
|
|
. |
|
x + 7 x 13 |
||
Решение. Функция y определена во всех точках промежутка [−6; 12], и более того, во всех точках непрерывна и дифференцируема. Поэтому наибольшее значение y может достигаться либо в одном из концов промежутка, либо в такой точке, в которой y’ обращается в 0; это же верно и для наименьшего значения. Для того, чтобы найти y’, сначала преобразуем формулу для y:
y = 5 |
|
x + 23 |
, |
|
|
||
x2 |
|
||
|
6x 91 |
||
а затем воспользуемся правилом дифференцирования частного:
|
|
|
x + 23 x 2 |
6x |
91 |
x + 23 |
x 2 6x |
91 |
|
|
|||
y' = |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
x 2 |
6x |
91 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 x2 6x 91 x + 23 2x 6 |
|
x2 |
+ 46x 47 |
|
||||||||
= |
5 |
|
|
|
|
|
|
= 5 |
|
|
|
|
. |
|
x 2 |
6x 91 2 |
|
|
x 2 |
|
6x 91 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Корнями y’ являются корни уравнения x2+46x-47=0, это x1=1 и x2=−47. В промежуток [−6; 12] входит только корень x1. Следовательно, для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y на промежутке [−6; 12], достаточно вычислить значения этой функции точках −6, 12 и 1. Вычислим их:
y 6 = |
5 |
6 + 115 |
|
|
= |
|
85 |
= 4 |
9 |
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6 + 7 |
6 |
|
13 |
19 |
19 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y 12 = |
|
5 12 + 115 |
|
|
= |
175 |
|
= 9 |
|
4 |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
12 + 7 |
12 |
|
13 |
|
19 |
|
19 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y 1 = |
5 1+ 115 |
|
= |
|
5 |
|
= 1 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
1+ 7 1 |
13 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, наибольшим и наименьшим значениями функции являются yнаиб = 9194 и yнаим = 1 45.
Ответ: наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 9194 ,
наименьшее значение функции на заданном отрезке равно 1 45 .
Задача 3. Определить, сколько корней имеет функция y=2x3−3x2−36x−60.
Решение. Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции. Вычислим производную: y'=6x2−6x−36.
Функция y' имеет корни −2 и 3, она положительна на интервалах (−∞;−2) и (3;+∞), отрицательна на интервале (−2,3). Следовательно, функция y возрастает на каждом из промежутков (−∞;−2] и [3;+∞), убывает на промежутке [−2,3], имеет максимум в точке −2 и минимум в точке 3. Значения функции y в точках экстремума равны y(−2)=−16 и y(3)=−141.
Исследуем, на каких интервалах функция y может иметь корни.
18
Так как луче (−∞;2] функция возрастает, то y(−2)=−16 является ее наибольшим значением на этом интервале. Следовательно, во всех точках промежутка (−∞;−2] значения функции y отрицательны. На отрезке [−2;3] функция y убывает, поэтому она принимает значения из отрезка [y(3),y(−2)], то есть [−141;−16]. Получаем, что все значения функции на этом отрезке также отрицательны. Таким образом, на луче (−∞;3] корней нет.
Осталось рассмотреть интервал (3;+∞). На нем функция y возрастает. Учитывая непрерывность функции y, и то, что ее предел на +∞ равен +∞, получаем, что на этом интервале она принимает любое значение, большее y(3)=−141, ровно один раз. В частности, ровно в одной точке функция y принимает значение 0.
Схематически график функции y=2x3−3x2−36x−60 показан на
Рис.2.
Ответ: 1 корень.
Рис. 2 Эскиз графика функции y=2x3−3x2−36x−60
19
СОДЕРЖАНИЕ
1.Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности
1.1Сложная функция
1.2Понятие предела функции в точке. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.
1.3Замечательные пределы
1.4Эквивалентные функции
1.5Примеры решения задач
2. Вычисление производных
3. Применение производной к исследованию функции
20