МА_технические_семестр1_Пределы Производная Графики Интегралы
.pdf
10.09Вычислить неопределенный интеграл
10.10Вычислить неопределенный интеграл
dx
x4 16
.
tg5 xdx.
|
1 |
10.11 |
Вычислить определенный интеграл arctgxdx. |
|
0 |
10.12Вычислить несобственный интеграл или доказать его
3 |
|
xdx |
|
|
|
|
расходимость |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
x2 |
3 |
|||||
2 |
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
10.13Вычислить периметр криволинейного треугольника,
образованного кривыми
3
y x2 , x2 y2 2x, y 0.
Вариант № 11
Часть 1. Дифференциальное исчисление
11.01 С помощью преобразований на плоскости построить график функции y e2x 5.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.02 |
Вычислить предел |
lim |
1 |
5x |
1 8x |
. |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
4x |
5x |
2 |
|
|||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
||
11.03Вычислить производные функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y tg |
3 |
|
|
|
|
a) |
y 3 3x4 |
e 3x |
|
cos 2x, |
b) |
2x |
e |
4x , |
|
|||||||
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln x |
5 |
x2 |
|
|
sin 2x2 |
|
|
|
||||||
c) |
y |
|
|
|
|
|
, d ) |
y |
arcsin 2 |
|
, |
e) x t ln(tgt), y t |
ln(cos t). |
|||
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11.04 |
|
|
Вычислить вторую производную функции |
y e x2 . |
||||||||||||
11.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции на
заданном промежутке |
|
y |
x |
, [0.5; 2]. |
|||
ex |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
11.06 |
Провести полное исследование и построить график |
||||||
функции |
|
2x |
|
||||
y arcsin |
|
|
. |
|
|||
1 |
x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
71 |
|
Часть 2. Интегральное исчисление
11.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: arc3 cos xdx.
1 x2
11.08Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: |
4x |
3 |
|
dx. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 5x |
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.09 |
Вычислить неопределенный интеграл |
dx |
dx. |
|
||||||
|
|
|
||||||||
x3 |
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.10 |
Вычислить неопределенный интеграл |
|
|
dx |
|
. |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
sin2 x cos2 x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4
11.11 Вычислить определенный интеграл xdx .
1 1 
x
11.12Вычислить несобственный интеграл или доказать его
расходимость |
3 |
x2 |
1 |
dx. |
|
|
3 |
|
|
||
|
1 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11.13Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси
OX плоской фигуры, ограниченной кривыми
y |
x2 |
, y |
x2 |
, x2 |
y2 12. |
|
4 |
4 |
|||||
|
|
|
|
Вариант № 12
Часть 1. Дифференциальное исчисление
12.01С помощью преобразований на плоскости построить
график функции y 2 x 2 .
12.02 |
Вычислить предел |
1 cos3 5x |
||
lim |
|
. |
||
xarctg2x |
||||
|
|
x 0 |
||
12.03Вычислить производные функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
12x5 tg |
|
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
||||||||||
a) |
y |
, |
b) |
y |
sin |
|
e |
x , |
|||||||||||||
x |
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t 3cos 3t, y cos3 t. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg 4 3x , |
|
|
|||||||||||
c) |
y |
|
, |
d ) |
y |
ln |
e) |
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
arccos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
72
12.04 |
Вычислить вторую производную функции |
y xe x2 . |
12.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции на
заданном промежутке y x2e x , [ 1;1].
12.06Провести полное исследование и построить график
функции |
y x3e x . |
Часть 2. Интегральное исчисление
12.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: |
5x7 |
40 |
7 x6dx. |
12.08Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: |
x |
arcsin x |
dx. |
||
|
|
|
|||
1 x2 |
|||||
|
|||||
12.09Вычислить неопределенный интеграл
12.10Вычислить неопределенный интеграл
x2 |
x |
1 |
|
dx. |
x4 |
2x2 |
|
3 |
|
|
|
cos 3x cos 5x sin 7xdx.
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
12.11 |
Вычислить определенный интеграл |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|||
|
|
sin x |
2 cos x 3 |
|
|
3 |
|
|
|
12.12Вычислить несобственный интеграл или доказать его
расходимость |
|
x5 |
|
|
|
dx. |
|
|
2 |
||
3 x3 |
4 |
|
|
12.13Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси
OX плоской фигуры, ограниченной кривыми
y2 9x, y 3x.
73
Вариант № 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть 1. Дифференциальное исчисление |
|
|
|
|
|
|||
13.01 |
С помощью преобразований на плоскости построить |
|||||||
график функции y log5 5 15x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.02 |
Вычислить предел |
lim |
|
x 12 |
2 |
8 x |
. |
|
|
x |
4 |
|
|||||
|
|
x 4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
13.03Вычислить производные функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 7x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
y cos |
4 |
5 |
|
|
x2 , |
|
|
|
a) |
y |
|
x |
|
|
|
ctg |
b) |
3x e |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
c) |
y |
arccos |
|
x |
|
, |
d ) |
y |
arctg 2 cos 3x |
7x , |
e) |
x 2t cos 2t, y sin3 t. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13.04 |
|
|
|
|
Вычислить вторую производную функции |
y arctgx2. |
|||||||||||||||
13.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции на
заданном промежутке y x 2arctgx, [ ; ].
13.06Провести полное исследование и построить график
функции |
y ln 2x2 3 . |
Часть 2. Интегральное исчисление
13.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: |
3x2 |
5 dx |
|
|
|
. |
|
x3 |
|
||
|
5x 23 |
||
13.08Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: |
|
6x |
7 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
5 4x |
|
x2 |
|||
13.09Вычислить неопределенный интеграл
13.10Вычислить неопределенный интеграл
x3 |
x |
|
dx. |
|
|
x2 5x |
|
4 |
|
||
|
|
|
|||
dx |
|
|
. |
||
|
|
|
|
||
2sin2 x |
7 cos2 x |
||||
|
|||||
|
|
7 |
|
x |
|
|
13.11 |
Вычислить определенный интеграл |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
x 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
74
13.12Вычислить несобственный интеграл или доказать его
расходимость |
e x cos 3xdx. |
|
0 |
13.13 Определить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX дуги кривой y=e-x, от x=0 до x= .
Вариант № 14
Часть 1. Дифференциальное исчисление
14.01С помощью преобразований на плоскости построить
график функции y log3 9 3x .
|
|
|
ln ex3 |
sin 9x |
||
14.02 |
Вычислить предел |
lim |
|
|
|
. |
ln ex |
4 |
|
||||
|
|
x |
|
cos 5x |
||
14.03Вычислить производные функций
|
|
1 |
|
|
|
ln 5x |
e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a) |
y |
, |
b) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
e 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
sin 5x , e) x t2 |
|
, y |
t3 3 |
|
. |
|
|
|||||||
c) |
y |
arccos 4x ln 3x |
|
1 , |
d ) |
y arctg |
|
|
t |
t |
||||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
14.04 |
|
|
Вычислить вторую производную функции |
y xe x . |
||||||||||||||||||||
14.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции на
заданном промежутке y x4 4x3 4x2 1, [ 1,5;1].
14.06Провести полное исследование и построить график
функции |
y |
x 3 |
. |
|
|||
|
|
ex |
|
Часть 2. Интегральное исчисление
14.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: 21x dx .
x2
75
14.08Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: |
|
x |
5 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
1 |
3 x |
|
5 |
|
|
||
14.09Вычислить неопределенный интеграл
14.10Вычислить неопределенный интеграл
2x5 |
6x3 1 |
dx. |
||
x4 |
3x2 |
|
||
|
||||
sin3 x cos2 xdx.
8
14.11 Вычислить определенный интеграл dx .
1 3x 3 x2
14.12Вычислить несобственный интеграл или доказать его
расходимость |
0,5 ln 1 |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
1 |
cos x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
14.13Найти объем тела, полученного от вращения кардиоиды
ρ=a(1+cos ) вокруг полярной оси.
Вариант № 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть 1. Дифференциальное исчисление |
|
|
|
|
|
|
|
|||
15.01 |
С помощью преобразований на плоскости построить |
|||||||||
график функции y log2 4 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
||
15.02 |
Вычислить предел |
2x |
|
6 |
7 x |
|
||||
lim |
|
|
|
2 |
|
3 |
. |
|||
|
|
x 1 |
|
x |
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
15.03Вычислить производные функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a) y |
e5x |
|
x3 |
, b) y |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5 x4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x5 e |
x3 , e) x |
t4 |
|
t3 |
|
3 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
c) y |
3x |
4x |
5x 2 , d ) y |
t, y t |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
t3 |
|||
|
|
|
|
|
|
15.04 |
Вычислить вторую производную функции |
y |
1 x2 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
15.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции на
заданном промежутке y arctg |
|
1 |
x |
, [0;1]. |
|
1 |
x |
||||
|
|
||||
|
76 |
|
|
||
15.06Провести полное исследование и построить график
функции |
y x 5arctgx. |
Часть 2. Интегральное исчисление
15.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: |
sin 2x ecos2 xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15.08 |
Вычислить неопределенный интеграл и проверить |
||||||||||||
результат дифференцированием: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
15.09 |
Вычислить неопределенный интеграл |
|
|
|
x2dx |
|
dx. |
||||||
|
|
x4 x2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
15.10 |
Вычислить неопределенный интеграл |
|
sin4 x cos2 xdx. |
||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
15.11 |
Вычислить определенный интеграл |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 x |
1 ln2 x |
|
|
||||||
15.12Вычислить несобственный интеграл или доказать его
расходимость |
|
dx |
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
1x 
x2 1
15.13Вычислить площадь поверхности вращения тангенсоиды
y=tgx от x=0 до x=π.
Вариант № 16
Часть 1. Дифференциальное исчисление
16.01 С помощью преобразований на плоскости построить график функции y 32 x .
16.02 |
Вычислить предел |
lim |
1 |
cos3 x |
|
|
|
. |
|||
|
x sin 6x |
||||
|
|
x 0 |
|
|
|
16.03Вычислить производные функций
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
x2 |
4 |
|
|
|||
a) |
y |
4 arcsin 5x |
|
|
|
, |
b) |
y |
|
|
|
|
|
, |
|
|||
x |
|
ln |
|
3x |
5 |
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcctgx2 , e) x arccos(2 t2 ), y arcsin(3t3 ). |
||||||||
c) |
y |
sin 5x arctg |
, |
d ) |
y |
tg |
||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|||
16.04 |
Вычислить вторую производную функции y arctg |
x |
|
x |
. |
16.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции на
заданном промежутке y |
x2 1 |
, [0,5;1,5]. |
||
x |
|
|||
|
|
|||
16.06Провести полное исследование и построить график
функции |
y x2 ln x. |
Часть 2. Интегральное исчисление
16.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: |
cos xdx |
. |
|
|
|||
|
|
1 sin2 x |
|
16.08 |
Вычислить неопределенный интеграл и проверить |
||
результат дифференцированием: |
x2e3xdx. |
||
16.09Вычислить неопределенный интеграл
16.10Вычислить неопределенный интеграл
16.11Вычислить определенный интеграл
dx
x3 x2 4x 4
.
dx
cos6 x
.
9
x 1 dx.
4 
x 1
16.12Вычислить несобственный интеграл или доказать его
расходимость |
1 3x2 |
|
2 |
dx. |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
3 x2 |
|||
16.13 Вычислить объем тора, полученного вращением
окружности x2+(y-5)2=4 вокруг оси OX.
78
Вариант № 17
Часть 1. Дифференциальное исчисление
17.01 С помощью преобразований на плоскости построить график функции y lg 10x 25 .
17.02 |
Вычислить предел |
lim |
esin 5x 1 |
|
|
. |
|||
4arctg3x |
||||
|
|
x 0 |
|
|
17.03Вычислить производные функций
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
x arcsin |
2x |
1 |
, |
|
|
|
a) |
y |
|
x3 x arcsin |
b) |
y |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ln 33 |
|
|
, |
|
|
|
|
tg 4x , e) x |
|
t2 2t 4, y t3 t. |
|||||
c) |
y |
sin 4x |
d ) |
y |
e |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
17.04 |
|
|
Вычислить вторую производную функции y ln x 1 x2 . |
||||||||||||||
17.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции на
заданном промежутке y x3ex , [2; 4].
17.06Провести полное исследование и построить график
функции |
y x2e x . |
Часть 2. Интегральное исчисление
17.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
x2 arccos x |
||||
1 |
|
|
|||
17.08Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: x ln2 xdx.
17.09Вычислить неопределенный интеграл
17.10Вычислить неопределенный интеграл
17.11Вычислить определенный интеграл
x4dx
x4 5x2 4
dx.
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4sin2 x 9 cos2 x |
||||
|
|
|
||||
4 |
x2dx |
|
|
|
||
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|||
79
17.12Вычислить несобственный интеграл или доказать его
|
9 |
|
x2dx |
|
|
расходимость |
|
|
. |
||
3 |
|
|
|||
|
|
9 x |
|||
|
1 |
|
|
|
|
17.13Вычислить длину дуги кардиоиды
ρ=2(1-cos ), находящейся внутри окружности ρ=1.
|
Вариант № 18 |
|
|
|
|
|
|
|
Часть 1. Дифференциальное исчисление |
|
|
|
|
|
|
||
18.01 |
С помощью преобразований на плоскости построить |
|||||||
график функции y 5 6x x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 x4 |
1 |
|
||
18.02 |
Вычислить предел |
lim 1 |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|||||
x |
2 |
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
18.03Вычислить производные функций
|
|
sin2 4x |
|
|
|
|
tg |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a) |
y |
|
|
|
|
, |
b) |
y |
3 |
x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos 6x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
e x |
2 |
|
|
|
ln x2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c) |
y |
arctg2x |
, |
d ) |
y |
|
|
|
|
, e) x tgt, y |
|
|
. |
|||||
|
x 1 |
x |
2 |
|
t |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18.04 |
Вычислить вторую производную функции |
y ln |
3x |
7 |
. |
|
3x |
5 |
|||||
|
|
|
|
18.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции на
заданном промежутке y |
8 |
|
x2 |
, [1; 4]. |
||||||
x |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
18.06 |
Провести полное исследование и построить график |
|||||||||
функции |
y |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ex |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Часть 2. Интегральное исчисление
18.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить
результат дифференцированием: tg ex exdx.
80