МА_технические_семестр1_Пределы Производная Графики Интегралы

Решение.

Строим график косинуса; растягиваем его в два раза вдоль оси абсцисс;

сдвигаем влево на и, окончательно, растягиваем в полтора раза вдоль оси ординат (рис. 1.14).

1.2 Теория пределов

1.2.1Основные определения

Основные понятия теории пределов дадим первоначально на примере последовательностей (более общие понятия теории пределов для функций смотри, например, в рекомендуемой литературе).

Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует число M>0 такое, что для любого n выполняется неравенство xn <M.

Определение. Конечное число a называется пределом последова-

тельности {xn} и обозначается lim xn a, если для сколь угодно малого

n

положительного числа существует номер N=N( ), зависящий от , такой, что для всех значений xn с номерами n N, выполняется неравенство xn-a < .

11

Последовательность {xn}, все значения которой равны одному и тому же числу a, называют постоянной и обозначают просто через a. Естественно

пределом постоянной величины является сама постоянная.

Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если a=0.

Последовательность {xn} называется бесконечно большой величиной,

если для любого сколь угодно большого E>0 существует номер N=N(E),

зависящий от E, такой, что для всех значений xn c номерами n N,

является бесконечно большой, а любая отрицательная — бесконечно малой.

1.2.2 Основные теоремы теории пределов

Теорема 1. (О единственности предела) Последовательность не может иметь два различных (конечных) предела.

Теорема 2. (Предел суммы) Предел суммы двух величин, каждая из которых имеет предел, равен сумме пределов этих величин. Иначе говоря,

если

Теорема 3. (Предел разности) Предел разности двух величин, каждая

из которых имеет предел, равен разности пределов этих величин. Иначе говоря, если

zn=xn-yn, xn a, yn b, то zn a-b.

12

Теорема 4. (Предел произведения) Предел произведения двух величин, каждая из которых имеет предел, равен произведению пределов этих величин. Иначе говоря, если

zn=xn yn, xn a, yn b, то zn a b.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

lim(cxn ) c lim xn .

n n

Теорема 5. (Предел частного) Предел отношения двух переменных,

каждая из которых имеет предел, равен отношению пределов этих величин,

если предел знаменателя отличен от нуля. Иначе говоря, если

zn=xn/yn, xn a, yn b, b 0, то zn a/b.

1.2.3 Случаи неприменимости основных теорем теории пределов.

Неопределенность.

Основные теоремы теории пределов неприменимы, если переменные не имеют конечных пределов, или, в случае отношения, если в числителе и в знаменателе стоит бесконечно малая величина. В этом случае говорят, что возникает понятие неопределенности.

Неопределенностью вида [ - ] называется сумма двух бесконечно больших величин разных знаков (или разность двух бесконечно больших величин одного знака).

Неопределенностью вида [0 ] называется произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую.

Неопределенностью вида [0/0] называется отношение двух бесконечно малых величин.

Неопределенностью вида [ / ] называется отношение двух бесконечно больших величин.

Нахождение конкретного ответа в случае неопределенности называется раскрытием неопределенности.

13

1.2.4 Замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей.

Большая часть неопределенностей раскрывается при помощи известных, стандартных примеров, которые обычно называются

замечательными пределами.

1)Неопределенность [ / ]:

Ответ: 0,5.

2)Неопределенность [1 ]:

14

знаменателе величины заменять на эквивалентные, что может существенно упростить вычисление.

x 0 tg8x

Решение.

Учитывая, что выражения в числителе и знаменателе являются

бесконечно малыми, так как e5x 1 5x, а tg8x 8x, то

Ответ: 0,625.

16

1.3Производная

1.3.1Производная; ее геометрический и механический смысл

Производной функции f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Геометрический смысл производной функции f(x), вычисленной в точке x0, есть тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в этой точке.

Механический смысл производной заключается в том, что если материальная точка за время t проходит путь S(t), то производная функции

S(t), вычисленная в момент t0, равна мгновенной скорости материальной точки в этот момент времени.

1.3.2 Примеры непосредственного вычисления производных.

Таблица производных

Приведем простые примеры непосредственного вычисления производных.

Пример 1.3.1.

Вычислить производную y=x3.

Решение.

Составим и преобразуем с помощью формулы разность кубов

И тогда, переходя к пределу, получаем:

17