Дискретная математика Ерош и др

3.2.10. Представление диэдральной группы ............................

53

3.2.11. Скалярное произведение функций, заданных

на группе ..................................................................

54

3.2.12. Задачи для контрольной .............................................

56

Литература ................................................................................

62

4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ................................................

63

4.1. Основные понятия и теоремы комбинаторики ..........................

63

4.1.1. Размещения с повторениями ........................................

63

4.1.2. Размещения без повторений .........................................

65

4.1.3. Перестановки без повторений ........................................

66

4.1.4. Перестановки с повторениями ......................................

67

4.1.5. Основные правила комбинаторики .................................

68

4.1.6. Главная теорема комбинаторики (теорема о включениях

и исключениях) ..........................................................

68

4.1.7. Сочетания без повторений ............................................

70

4.1.8. Сочетания с повторениями ...........................................

72

4.1.9. Свойства чисел сочетаний .............................................

73

4.1.10. Основные формулы классической комбинаторики ...........

74

4.2. Комбинаторные задачи с ограничениями ................................

75

4.2.1. Простые задачи с ограничениями .................................

75

4.2.2. «Задачи о смещениях (о беспорядках)» ..........................

76

4.2.3. «Задача о караване» .....................................................

77

4.3. Комбинаторные задачи на раскладки и разбиения ...................

78

4.3.1. Раскладки с указанием числа предметов ........................

78

4.3.2. Раскладка предметов на 2 кучки (в 2 ящика, кармана) .....

79

4.3.3. Раскладка предметов по k ящикам .................................

81

4.3.4. «Флаги на мачтах» ......................................................

82

4.3.5. «Покупка билетов» ......................................................

83

4.4. Рекуррентные соотношения в комбинаторике ..........................

83

4.4.1. «Задача о наклейке марок» ...........................................

84

4.4.2. «Задача об уплате долга» ..............................................

84

4.4.3. «Задача о размене гривенника» .....................................

85

4.5. Задачи для контрольной работы .............................................

85

Литература ................................................................................

89

5. ТЕОРИЯ ГРАФОВ .......................................................................

90

5.1. «Задача о кёнигсбергских мостах» .........................................

90

5.2. Виды графов ........................................................................

91

5.3. Способы задания графов ........................................................

92

5.4. Понятие о плоских графах – «Задача о трех домах и трех

колодцах» ...........................................................................

95

5.5. Теорема Жордана о плоских графах ........................................

96

5.6. Определение числа ребер в графе ...........................................

96

5.7. Теорема о количестве вершин нечетной степени ......................

97

5.8. Графы типа «дерево» – основные соотношения .........................

97

5.9. Цикломатическое число графа ..............................................

97

5.10. «Задача о наименованиях и переименованиях» ........................

98

5.11. «Задача коммивояжера» и «Задача о минимальной сети дорог»

99

5.12. Построение турнирной таблицы ...........................................

101

5.13. Теорема Куратовского о плоских графах ...............................

102

5.14. Проецирование графа на сферу ............................................

103

5.15. Теорема Эйлера о соотношении числа вершин, ребер и граней

плоского графа ..................................................................

104

5.16. Правильные многогранники ................................................

106

5.17. Мозаики ............................................................................

107

5.18. «Задача о четырех красках» .................................................

108

5.19. Теорема о направленных графах ...........................................

108

5.20. Задачи для контрольной ......................................................

110

6. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ....................

113

6.1. Основные понятия и определения ...........................................

114

6.1.1. Делимость целых чисел ...............................................

114

6.1.2. Свойства сравнений ......................................................

115

6.1.3. Решение сравнений .....................................................

116

6.1.4. Наименьшее общее кратное и наибольший общий

делитель ....................................................................

116

6.1.5. Простые числа. Разложение на простые сомножители.

Каноническая форма числа...........................................

117

6.1.6. Определение НОК И НОД чисел ....................................

117

6.1.7. Функция Эйлера для натурального числа (m) ................

118

6.1.8. Сравнимость чисел и классы вычетов ............................

119

6.1.9. Теоремы Ферма и Эйлера .............................................

119

6.1.10. Показатели чисел по модулю и примитивные корни .......

120

6.1.11. Конечные поля (поля Галуа) ..........................................

121

6.1.12. Квадратичные вычеты. Символ Лежандра.

Символ Якоби .............................................................

126

6.2. Использование теории чисел в криптографии и коррекции

ошибок при передаче сообщений ...........................................

129

6.2.1. Использование теории чисел при открытом распределе

нии секретных ключей ................................................

130

6.2.2. Линейные коды для коррекции ошибок при передаче

сообщений..................................................................

135

6.2.3. Арифметические коды .................................................

136

6.3. Задачи для контрольной ........................................................

137

Литература ................................................................................

138

Заключение ...................................................................................

139