Дискретная математика Попов и др
.pdf
обозначается φ(n) и называется функцией Эйлера. |
|
Теорема 2. Пусть n 1, 2, 3,...... |
тогда функция Эйлера |
(n) n 1 - 1 ,
ai i
где произведения берутся по всем простым делителям ai числа n. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Докажем |
это. |
|
Поскольку |
все |
|
|
ai |
делят |
|
n |
и |
|
взаимно |
просты, то |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
, |
отсюда по результатам предыдущей теоремы получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
a |
|
a |
|
a |
a |
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
r |
2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) n (1 - |
1 |
|
) (1 - |
|
1 |
|
) |
(1 - |
1 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Пример 27. Пусть n=84, простые делители 2, 3, 7, тогда: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(84) 84 (1 |
|
1 |
) (1 |
|
1 |
) (1 |
1 |
) 24. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
При n=8, |
простой делитель 2, |
(8) 8 |
(1 |
|
1 |
) 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Используя теорему 1 можно получить формулу для подсчета количества |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
простых чисел pi таких, что |
n pi |
n |
: |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
M (n) -1 n - |
|
|
|
|
|
|
- ... (-1) |
r |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
p |
p |
|
|
p |
|
|
p |
p |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i , j |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
r |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M (n) 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1) |
r |
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
. p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p p ... p |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
r |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по всем i , j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Первое слагаемое -1 добавляется,
Пример 28. При
М 30 |
1 30 |
30 |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
1 30 15 10 6 5 3 2 |
||||||||
3.3.2 Mетод перебора
т.к. 1 – не простое число.
|
30 |
|
|
30 |
|
|
30 |
|
|
30 |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5 |
|
|
2 3 |
|
|
2 5 |
|
|
3 5 |
|
2 |
3 5 |
|
|
1 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод перебора используется для декомпозиции задачи, если к ней нельзя непосредственно применить то или иное правило или формулу. Например, при нахождении чисел меньше К, которые можно построить с использованием M цифр, первоначально все числа делятся на числа с максимальным числом разрядов меньших К, затем числа, содержащие на разряд меньше и далее до одноразрядных чисел. Количество чисел в каждой группе подсчитывается с использованием формулы размещений.
Задача о произвольной разгрузке лифта от неидентифицированных пассажиров – первоначально находятся все возможные комбинации выхода пассажиров. Количество вариантов разгрузки лифта для каждой комбинации
31
находится с использованием формулы перестановок. Так, для 3 человек возможные комбинации: выход одного человека на одном этаже, выход 2 человек на одном этаже и 1 на каком-то другом, выход всех 3 человек на одном этаже.
Перебор и перестановки используются для подсчета вариантов размещения одинаковых монет по ряду карманов.
Недостаток метода перебора состоит в большом количестве вариантов, возникающих в процессе такой декомпозиции задачи.
3.4 Упражнения
1.В спортклубе 25 человек. Требуется составить команду из 4-х человек для участия в беге на 100м. Сколькими способами это можно сделать? А если требуется составить команду из 4-х человек для участия в эстафете 100 + 200 + 400 + 800м?
2.В скольких 7 разрядных числах все цифры различны?
3.Сколько чисел от 1 до 900 не делится ни на 3, ни на 7, ни на 11?
4.На загородную прогулку выехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 48 человек, с сыром - 38, с ветчиной - 42, с сыром и колбасой - 28, с колбасой
иветчиной - 31, с сыром и ветчиной - 26. 25 человек взяли с собой все три вида бутербродов. Сколько человек взяли пирожки?
5.Сколько разных делителей кратных 10 имеет число 3350?
6. На прямой взяты p точек, а на параллельной ей прямой еще g точек. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?
7. В каком числе перестановок из 33 букв русского алфавита не встречаются слова студент, декан, институт?
8. 4 волчка с 3, 5, 11 и 4 гранями соответственно запускаются и останавливаются в некоторых положениях. Сколькими различными способами они могут упасть? А если известно, что, по крайней мере, 3 из них остановились на цифре 2?
9. У мамы 3 яблока, 4 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 11 дней подряд она выдает дочери по 1 фрукту. Сколькими способами она это может сделать?
10. Имеется 4 утки, 3 курицы и 2 гуся. Сколькими способами можно выбрать из них несколько птиц так, чтобы среди выбранных были и утки и куры и гуси?
11. Найдите и выпишите все перестановки их букв X,Y,Z при которых ни одна буква не остается на своем месте. А сколько существует перестановок из букв a,b,c,d,e при которых ровно одна из них на своем месте?
12. Из колоды в 52 карты двое игроков выбирают по 4 карты каждый. Сколько существует различных вариантов выбора? В скольких случаях один из игроков получает 4 туза, а другой 4 короля?
13. Сколько 6 разрядных чисел содержат ровно 3 различных цифры? Сколько n разрядных чисел содержат ровно k различных цифры?
14. Сколько чисел меньших миллиона можно записать с помощью цифр 9,8,7. А с помощью цифр 9,8,0, если число не может начинаться с 0?
15. Сколькими способами можно переставить буквы слова "Юпитер" так, чтобы гласные шли в алфавитном порядке?
32
16. На собрании должно выступить пять человек A,B,C,D,E. Сколькими способами можно составить списки выступающих при условии, что B не должен выступать до тех пор, пока не выступит A? Решите ту же задачу при условии, что A должен выступить непосредственно перед B.
17. Сколькими способами можно переставить буквы слова "каракули" так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
18. Сколько разных делителей, кратных 21 имеет число 525?
19. Сколько разных списков для выступлений можно составить из 20 депутатов, если депутаты З и Ж и Я уже обеспечили себе места соответственно 7 и 11и 13 ?
20. Сколько разных делителей имеет число 6350?
21. В каком числе перестановок из 33 букв русского алфавита встречаются слова спорт, профессор, качели?
22. Из 25 человек работающих в отделе, 14 имеют диплом инженера,8 диплом техника, 7 диплом экономиста, 5 одновременно диплом инженера и техника, 4 диплом инженера и экономиста, 6 диплом техника и экономиста, 2 имеют все три вида дипломов. Руководство решило уволить сотрудников без дипломов. Сколько может быть уволено сотрудников?
23. 4 волчка с 3, 5, 11 и 4 гранями соответственно запускаются и останавливаются в некоторых положениях. Сколькими различными способами они могут упасть? А если известно, что, по крайней мере, 3 из них остановились на цифре 2?
24. На книжной полке 15 книг. Сколько существует способов взять с полки 7 книг, которые не стояли рядом? А 12 книг?
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика / Н.Я.Виленкин. - М.: Наука, 1975. - 208 с.
2Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах / Н.Я.Виленкин. - М.: Наука, 1965. - 128 с.
3Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ /Дж.Риордан; пер. с англ. - М.: Иностранная литература, 1963, - 287 с.
4Холл М. Комбинаторика / М.Холл; пер. с англ. - М.: Мир, 1970. – 424 с.
5Теория вероятности и математическая статистика на базе MATLAB: учебное пособие / Харьковский НТУ «ХПИ»; сост. С.П. Иглин – Харьков, 2006.- 612 с.
6Элементы дискретной математики : учебное пособие / Санкт–Петербургский гос.ун-т аэрокосмического приборостроения: - сост. И.Л.Ерош, В.В Михайлов. – Санкт-Петербург, 2008. 104 с.
7. Дискретная математика: учебное пособие : учебное пособие / Санкт– Петербургский гос.ун-т аэрокосмического приборостроения: - сост. И.Л Ерош, М.Б.Сергеев, Н.В.Соловьев. – Санкт-Петербург, 2008. - 144 с.
33