Дискретная математика Попов и др

Пример 4. В студенческой группе 20 человек (множество А). 12 из них изучают английский язык (множество А1), 8 – немецкий (множество А2), 5 – испанский (множество А3), 6 изучают английский и немецкий, 3 – английский и испанский, один – все 3 языка. Есть ли в группе студенты (множество А4), которые не изучают данные европейские языки? Поскольку в группе есть студенты, изучающие сразу несколько языков, то для решения задачи будем использовать формулу включения-исключения. Мощность объединения множеств А1,А2,А3,А4 равна количеству студентов в группе и по формуле включения-исключения:

|А| = |A1 A2 A3 A4| = (|A1|+|A2|+|A3|+A4|)-(|A1 A2|+|A1 A3|) + |A1| |A2| |A3| , т.е.

20 = 12+8+5+A4-(6+3)+1 , A4 = 3. Три человека не изучают указанные языки.

3.1.2 Перестановки

Пусть задано конечное множество А, состоящее из n – элементов. Последовательность из n элементов множества с учетом их порядка называется перестановкой. Таким образом, отдельные перестановки отличаются друг от друга только порядком входящих в них элементов. Перестановки обозначаются символом Р (от английского Permutation – перестановки).

Число перестановок элементов множества А равно:

Рn = 1∙2∙3 ∙. . .∙ n = n! .

Пример 5. Пусть число элементов множества А равно 5 (это может быть множество разных книг, которые можно расставить на полке, количество сидящих на скамейке студентов, количество независимо выполняемых работ и т. п.). Определить количество последовательностей элементов множества А, отличающихся положением хотя бы одного элемента. Это задача на перестановки. Число перестановок Р5=1∙2∙3∙4∙5=120. Отметим, что любые две перестановки различаются положением не менее чем 2-х элементов.

Пример 6. Переставляя буквы алфавита можно получить любое слово, если все входящие в него буквы различны. В каком количестве вариантов перестановок встретится заданное слово? Зафиксируем появление слова в начале строки букв алфавита. Количество вариантов появления слова будет равно числу перестановок не вошедших в него букв алфавита. Остается учесть тот факт, что слово может стоять в любом месте строки букв алфавита.

Пример 7. Определить, сколько существует вариантов перестановок букв в слове Андрей, в которых гласные расположены в алфавитном порядке. Общее число перестановок равно 6!, число перестановок гласных равно 2!, из которых только в одной буквы расположены в алфавитном порядке. Искомое число перестановок N=6!/2!. А если расположить в алфавитном порядке согласные? А если все буквы слова?

Перестановка 1, 2, 3, …,n – называется начальной или основной. Насколько

21

количество чисел равно количеству размещений из 10 по N.

3.1.4 Сочетания

Сочетанием из n – элементов по k элементам 0 ≤ k ≤ n называется подмножество из k элементов, выбранное из множества А, состоящего из n элементов. Сочетания обозначаются символом С (от английского Combination - сочетание).

Число сочетаний определяется формулой:

Пример14. Сколько вариантов выбрать M человек из группы в N человек для участия в марафоне? Выборка не упорядочена, поскольку старт у спортсменов общий, задача на сочетания. Количество вариантов равно

Свойства сочетаний:

формулу бинома Ньютона:

3.1.5 Разбиения

Разбиением из n элементов по k1, k2,…,k m элементов, где

называется представление множества А из n элементов в виде суммы из m непересекающихся множеств, в каждом из которых содержится k1, k2,…,k m элементов.

Разбиения является обобщением сочетаний и обозначаются тем же символом С. Количество разбиений подсчитывается по формуле:

Cn (k1 ,k2 ,...,km ) mn! .

ki !

i 1

24

Пример 15. В общежитии имеется две четырехместных комнаты и одна двухместная, в которых должны поселиться 10 студентов. Сколько имеется вариантов размещения студентов по комнатам? Задача состоит в делении общего количества претендентов на 3 непересекающихся подмножества, содержащих 4, 4 и 2 человека. Количество вариантов определяется по формуле разбиений:

3.1.6 Операции на множествах с повторениями

В классическом определении множеств (см. раздел 1) все элементы множества различны. По правилам идемпотентности множество с элементами (1,1,2,3,3,3,5) эквивалентно множеству с элементами (1,2,3,5). Но в комбинаторике такие множества различаются. Множество с повторениями – множество А, содержащее k1 элементов 1-го типа, k2 – второго, … km элементов типа m. Общее

Перестановки с повторениями. Перестановки с повторениями есть перестановки элементов множества с повторениями, в которых элементы одного типа неразличимы. Можно использовать обычное множество, разрешив использовать любой его элемент в перестановке произвольное число раз. Число перестановок с повторениями определяется формулой:

интерпретироваться как задачи на разбиения.

Пример 16. В лифт 9-этажного дома на первом этаже сели 4 человека А, В, С и D. Сколько существует вариантов разгрузки лифта, если на любом этаже может выйти только 1 человек? Разгрузка происходит на 8 этажах дома. При любом варианте разгрузки 4 этажа остаются свободными от разгрузки. Таким образом, множество элементов перестановок будет содержать 4 различных идентифицируемых разгрузочных элемента (А.В,С,D) и четыре повторяющихся пустых элемента. Это задача на перестановки с повторениями. Общее число перестановок:

Если севшие в лифт люди неразличимы, то множество будет содержать 4 неразличимых разгрузочных элемента и 4 пустых, число перестановок:

25

Размещения с повторениями. В отличие от перестановок с повторениями, размещения с повторениями могут строиться по различным схемам.

1)Можно взять множество с повторениями, а выбор элементов проводить в соответствии с общим определением размещения.

2)Можно взять обычное множество и при выборе элементов из него разрешить выбирать одинаковые.

3)Можно взять множество с повторениями и при выборе элементов из него также разрешить выбирать одинаковые.

Размещения с повторениями по схеме 1 – это перестановки из k элементов любого подмножества исходного множества с повторениями.

Размещения с повторениями по схемам 2 и 3 – перестановки из k элементов, где на каждом шаге допускается выбор любого элемента исходного множества.

Число размещений с повторениями по схемам 2 и 3 определяется формулой:

Отметим, что задачи на размещения с повторениями по схемам 2 или 3 могут интерпретироваться как задачи на декартову степень.

Для схемы 1 не существует общей формулы и необходимо вручную строить алгоритмы для подсчета количества вариантов размещений.

Пример 17. Определить количество 5-разрядных чисел в троичной системе счисления. Это задача на размещения с повторениями по схеме 2, поскольку исходным является простое множество, содержащее 3 элемента – цифры 0, 1, 2, и любая цифра может повторяться произвольное количество раз. Общее количество

Пример 18. Задано множество цифр с повторениями (2,2,2,3,5,5). Сколько различных 3-х разрядных чисел может быть построено? Это задача на размещения по схеме 1. Не существует общей формулы для решения такой задачи. Для подсчета количества чисел должен быть разработан специальный алгоритм.

Сочетания с повторениями. Сочетания с повторениями также могут строиться по схемам 1-3.Сочетание с повторениями по схеме 1 – любое подмножество из k элементов исходного множества с повторениями.

Сочетание с повторениями по схемам 2 и 3 – любое подмножество из k элементов множества (обычного или с повторениями), когда после выбора элемента исходное множество восстанавливается. Иными словами, любой элемент исходного множества может повторяться в выборке произвольное число раз.

Число сочетаний с повторениями по схемам 2 и 3 определяется формулой:

Для схемы 1 не существует общей формулы и необходимо вручную строить алгоритмы для подсчета количества вариантов сочетаний.

Пример 19. Имеется 4 типа грузов, причем количество ni каждого типа грузов конечно, но достаточно велико, во всяком случае, ni≥5. Сколько существует

26

вариантов загрузки автомашины, которая может перевести одновременно 5 грузов? В этой задаче исходное множество является конечным множеством с повторениями. Однако число грузов любого типа в множестве больше количества грузов, помещающихся в машине. Поэтому задача сводится к задаче на сочетания с повторениями по схеме 2. Число вариантов определяется по формуле:

Если количество грузов n1=1, n2=3, n3=5, n4=8, то это задача на сочетания с повторениями по схеме 1. Общая формула решения отсутствует, количество вариантов определяется путем перебора.

Пример 20. Сколько N разрядных десятичных чисел содержат ровно К различных цифр (K≤10). Первоначально, с помощью формулы для сочетаний, определяем количество различных комбинаций из 10 цифр по К. Для каждой комбинации количество различных N-разрядных чисел вычисляем по формуле размещений с повторениями (размещения по схеме 2)

3.1.7 Комбинаторные задачи с ограничениями

Во многих случаях решение комбинаторных задач выполняется при наличие ограничений. Запрещенные комбинации должны быть удалены из общего решения, полученного путем применения известных формул. В более сложных случаях требуется разработка специального алгоритма решения подобных задач.

Пример 21. Разложить 10 различных монеток по трѐм карманам так, чтобы ни один карман не остался пустым. При отсутствии ограничений любая монетка может попасть в любой карман, количество вариантов рассчитывается по формуле декартового произведения (декартовой степени): N3=mk=310. Теперь нужно удалить запрещенные комбинации, в которых один или два кармана остались пустыми. Количество комбинаций с одним пустым карманом сводится к задаче раскладывания монеток по двум карманам: N2=210. Поскольку пустым может быть любой из трѐх карманов, то общее число запрещенных комбинаций равно 3∙N2. В число этих комбинаций входят и варианты с двумя пустыми карманами. Причем варианты с двумя пустыми карманами будут повторяться (в первом случае пустыми могут быть 1 и 2 или 1 и 3 карманы, во втором случае 1 и 2 или 2 и 3, в третьем – 1 и 3 или 2 и 3). Общее количество вариантов с двумя пустыми карманами равно 3∙N1=3∙110=3. Таким образом, число вариантов решения исходной задачи с ограничениями равно N3-3∙N2+3∙N1=59045-1024+3=58028.

А сколько вариантов разложить 10 одинаковых монет по трем карманам? Это задача на декартово произведение с повторениями. Общая формула для нахождения числа комбинаций отсутствует. Запишем возможные комбинации расположения монет. Если в первый карман попала 1 монета, то множество комбинаций раскладки монет: 118, 127, 136, 145, 154, 163, 172, 181. Если 1 монета попала во второй карман: 118, 217, 316, 415, 514, 613, 712, 811, если в третий: 181, 171, 361, 461, 541, 631, 721, 811. Комбинации 118, 181 и 811 встречаются дважды. Таким образом, общее количество различных комбинаций равно 8∙3-3=21. Затем записываем

27

комбинации, в которых 2 монеты попадают в первый, второй или третий карман. Удаляем дважды встречающиеся варианты во всем множестве комбинаций и т.д. Задача решается методом перебора, общее количество вариантов разложения монет равно 36.

Пример 22. Задача на расстановку (выборку) предметов с ограничениями. Пусть за круглым столом сидят 10 мужчин. Требуется рассадить 7 женщин так, чтобы их соседями были мужчины. Для решения задачи первоначально рассадим мужчин с промежутками (получим 10 промежутков). Семь из них займут женщины, остальные промежутки уберем. Общее количество вариантов по

Пример 23. Определить количество вариантов выбора 3-х не расположенных рядом книг из 8 стоящих на полке. Представленная здесь задача обратна задаче примера 22. Отличие в том, книги на полке образуют разомкнутое исходное множество, в отличие от циклического в предыдущем примере. Соответственно, первая и последняя книги всегда не соседние и количество допустимых положений оказывается на единицу больше. Количество вариантов выбора определяется формулой:

где n – общее число книг на полке, k – количество выбираемых книг.

3. 2 Mетод решет

3.2.1 Общий случай формулы включения – исключения

A1 A2 A1 A2 A1 A2 ,

A1 A2 A A1 A2 A1 A2 ,

A1 A2 A A1 A2 A1 A2 .

В общем случае множество элементов из А, которые не принадлежат подмножествам А1,…,Аn рассчитывается по формуле:

28

Образно говоря, мы «просеиваем» элементы множества А через решета, задерживающие элементы, принадлежащие подмножествам А1,…,Аn.

3.2.2 Решето Сильва-Сильверста

Рассмотрим другой вид формулы включения-исключения:

29

«наибольшее целое, меньшее или равное числу А». Из последовательности 2, 3, ….,n вычеркиваются все числа, кратные 2, затем кратные 3, …, кратные e.

Пример 25. Пусть n=30, исходная последовательность следующая: {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}

Удалив из исходной последовательности числа, кратные делителям, получим множество простых чисел {7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}.

Продолжим процедуру, взяв в качестве сокращенной последовательности множество делителей {2, 3, 4, 5}.

множество простых чисел {3, 5}.

Сокращенная последовательность будет содержать одно число {2}, которое является простым, т.к. не имеет делителей.

Таким образом, для исходной последовательности полное множество простых чисел это: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}.

3.2.4 Использование метода решет в теории чисел

1)Нахождение делителей.

Теорема 1. Пусть А = {1, 2, …n}, a1, a2, … ar - взаимно простые числа (ai,aj) = 1. Количество q целых чисел kj таких, что 0 < kj =<n, ai - не являются делителями kj,

(ai, kj) = 1, равно: