Дискретная математика Попов и др

объединение его со вторым таким же множеством, совпадает с исходным множеством А. Точно также, пересечение множества А с самим собой, тоже совпадает с исходным множеством А, т.е. А+А=А. Эти два последних равенства называют идемпотентным законом (законом идемпотентности).

Как мы видим, в алгебре множеств действуют законы во многом похожие на знакомые нам из курса школьной математики законы алгебры, относящиеся к числам, но они не дублируют полностью числовые законы. Т.е. в алгебре множеств, как мы увидим, имеют место почти все основные законы, справедливые для чисел, но вместе с ними в ней выполняются и другие законы, которые вероятно могут показаться необычными. Например, в алгебре чисел а+1≠1, а в алгебре множеств всегда А+I=I, А∙I=А.

Совершенно новыми для нас являются законы идемпотенции, т.е. А+А=А, А∙А=А. Эти законы иногда выражают в виде утверждения о том , что в алгебре множеств нет ни показателей степени, ни коэффициентов:

А А А А . А А,

nраз

АА А А . А А,

nраз

каким бы не было множество А и число n. Поэтому, например, если В – подмножество в А, т.е. В А, то справедливы равенства В∙А=В и В+А=А.

Весьма своеобразно “раскрытие скобок” в алгебре множеств – об этом говорит второй дистрибутивный закон - в алгебре множеств, всегда ( т.е. при любых множествах А,В, и С ) имеет место равенство

А∙В+С=(А+С)∙(В+С) ,

хотя с точки зрения чисел это равенство неправильное («неполное») .

Приведем графическую иллюстрацию второго дистрибутивного закона. На рисунке 7 штриховкой с правым наклоном покрыто пересечение А∙В множеств А и В, а штриховкой с левым наклоном множество С. Вся заштрихованная фигура (с левыми и правыми наклоном) изображает множество А∙В+С.

11

Рисунок 7

На рисунке 8 горизонтальными линиями заштриховано объединение двух множеств А и С, т.е. А+С, а вертикальными линиями заштриховано объединение двух множеств В и С, т.е. В + С.

12

Рисунок 8

“Cеткой” покрыто на рисунке 8 пересечение (А+С)∙(В+С) этих двух объединений. Легко увидеть, что фигура покрытая на рисунке 8 сеткой (из горизонтальных и вертикальных линий) в точности совпадает с заштрихованной на рисунке 7 ,что и доказывает второй дистрибутивный закон. Примеры действия этих двух законов.

Пример 1.

Именно это отличие законов алгебры множеств от законов алгебры чисел, во многих учебниках по дискретной математике стало причиной того, что объединение (сложение) множеств и пересечение (умножение) множеств обозначаются не обычными алгебраическими знаками “+” и “∙” , а совершенно иначе (т.е. другой символикой):

1.4 Разбиение множеств

Часто некоторое множество является суммой своих подмножеств, но никакие два из этих подмножеств не имеют общих элементов (т.е. эти подмножества не пересекаются). В этом случае говорят, что множество А разбито на непересекающиеся подмножества. Разбиение на такие подмножества часто полезно для классификации объектов. Например, составляют каталог книг (множество книг)

вбиблиотеке. Сначала книги разбиваются на подмножества:

-художественная литература;

-книги по общественно политическим наукам;

-книги по естественным наукам;

-книги по техническим наукам и т.д.

После этого подмножества разбиваются на более мелкие подмножества:

-художественную литературу разбивают на прозу и поэзию;

-книги по общественным наукам – на книги по философии, политической экономии, культурологии и т.д.;

-книги по естественным наукам – на книги по физике, математике и т.д. Такое разбиение позволяет быстро найти нужную книгу. Очевидно, что одно

ито же множество можно разбивать на подмножества разными способами. Например, для одного и того же множества книг в библиотеке составляется алфавитный каталог, т.е. множество книг разбивается на подмножество книг, авторы которых имеют фамилии начинающиеся на букву А, на подмножество книг,

13

фамилии авторов которых начинаются на букву Б и т.д. После этого каждое полученное подмножество разбивают в соответствии со второй буквой фамилии и т.д.

При разбиении множества на подмножества часто используют понятие эквивалентности элементов. Для этого определяют, что значит “элемент х эквивалентен элементу y”, после чего объединяют эквивалентные элементы в одно подмножество. Для понятия эквивалентности должны выполняться три следующих условия:

а) каждый элемент сам себе эквивалентен; б) если элемент х эквивалентен элементу у, то элемент у эквивалентен

элементу х;

в) если х эквивалентен у и у эквивалентен z, то элемент х эквивалентен z.

1.5 Вычитание множеств

Там где есть сложение (объединение), обычно существует и вычитание. Не являются в этом смысле исключением и множества. Разностью множеств А и В называют новое множество А-В, в которое входят все элементы множества А, не принадлежащие множеству В. На рисунке 9 разность А-В это множество точек заштрихованной области (серповидной фигуры) без дуги MN, А-В=А-А∙В.

M

A B

N

Рисунок 9

При этом совсем не обязательно , чтобы множество В было частью множества А. Если В не является частью А, то вычитание В из А сводится к удалению из А общей части А и В.Например,

А - множество всех обучающихся в группе, В - множество студенток в этой группе,

А-В – множество студентов (юношей) в группе.

В том случае, если множество В является частью множества А, то А-В называют дополнением к множеству В в А. Условно обозначается это т.о. BAʹ.

Например:

14

-дополнением множества четных чисел в множество всех целых чисел является множество нечетных чисел;

-дополнением множества студенток В в группе в множество А всех

обучающихся в этой же группе, является BA, т.е. число студентов – юношей. Дополнение множества В в универсальное единичное множество I (рисунок

10), вместо BIʹ пишут просто Bʹ.

Bʹ

AB

Рисунок 10

Следует обратить внимание на то, что некоторые формулы алгебры чисел перестают быть верными для вычитания множеств. Так, например, в алгебре множеств (A+B)-C≠A+(B-C) Почему? В самом деле, если все три множества совпадают, т.е. А=В=С , то левая часть является пустым множеством, а правая часть

– множество А, и ≠А.

1.6 Прямое произведение множеств

Прямым произведением множеств А и В (обозначается произведение AxB) являются множество всех пар a∙b, где a A, b B.

Например,

A={a,b,c} и B={1,2} .

Элементами прямого произведения этих множеств будут

AxB={a∙1,a∙2,b∙1,b∙2,c∙1,c∙2}

Пусть А – конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций). Такое множество символов называется алфавитом. Элементы множества An именуются словами длиной n в алфавите А (т.е. число символов n в слове – длина слова). Всѐ множество слов в алфавите А может быть односимвольными словами – A1, двухсимвольными

15

словами - A2 и т.д. Поэтому, множество всех слов в алфавите А – это множество, являющееся объединением A1 A2 A3 … An.

Рассмотрим две полезные теоремы:

1)пусть A1,A2,A3,A4…,An - конечные множества, каждое из которых имеет свою мощность |Ai|=Mi.

Тогда мощность прямого произведения A1∙A2 ∙A3∙∙ … ∙ An равна произведению мощностей этих множеств M1∙M2∙M3∙…∙Mn, для n=1 это утверждение очевидно.

2)если для конечного множества А, его мощность |A|=n, то число всех подмножеств множества А равно 2n. Например, для множества A={a,b,c} его мощность |A|=3. Подмножества, т.е. слова в этом алфавите, будут следующие:

– { }

–{a}

–{b}

–{c}

–{a∙b}

–{a∙c}

–{b∙c}

–{a∙b∙c}

т.е. 23=8.

Слова единичной длины отождествляются с буквами алфавита. Все подмножества включают слова положительной длины (т.е. состоящие не менее чем из одной буквы) а так же и пустое слово – не содержащее ни одной буквы

2 Алгебра множеств

2.1 Основные законы алгебры множеств

Мы познакомились с действиями над множествами и некоторыми свойствами ( иногда необычными) этих действий. Приведѐм в виде таблицы (таблица 1)

список всех основных свойств действий над множествами, и в этом списке, как и

B

A

Рисунок 11

17

Bʹ

Рисунок 12

С помощью свойств 1…26 (таблица 1) можно выполнять действия над множествами аналогично тому, как в алгебре выполняют действия над числами. Полезно знать:

1)А∙В=(Aʹ+Bʹ)ʹ, по свойству 26.

2)(Aʹ+Bʹ)ʹ + (Aʹ+B)ʹ =A, т.к. (Aʹ+Bʹ)ʹ=A∙B и (Aʹ+B)ʹ=(Aʹ)ʹ∙Bʹ, тогда A∙B+A∙Bʹ =

A∙(B+Bʹ)=A∙I=А . Все эти свойства (таблица 1) можно легко доказать через две операции над множествами – сложение (объединение) и образование дополнения.

2.2 Упражнения

Доказать следующие равенства, в которых большими буквами обозначены множества (буква всегда обозначает пустое множество, а буква I – единичное множество):

1.(A+B)∙(A+C) (B+D)∙(C+D)=A∙D+B∙C

2.A∙(A+B)=A

3.A∙B+A=A

4.A∙(A+C)∙(B+C)=A∙B+A∙C

5.A∙(A+I)∙(B+ )=A∙B

6.(A+B)∙(B+C)∙(C+A)=A∙B+B ∙C+C∙A

7.(A+D)∙(B+D) ∙ (C+D)=A∙B∙C+D

8.(A+B)∙(B+C)∙(C+D)=A∙C+B∙C+B∙D

9.(A+B)∙(A+I)+(A+B)∙(B+ )=A+B

10.(A+B)∙(B+I)∙(A+ )=A

11.(A+B+C)∙(B+C+D)∙(C+D+A)=A∙B+A∙D+B∙D+C

18