2.5 Оценка погрешности аппроксимации

Результатом этапа решения системы нормальных уравнений (2.6) является получение значений параметров аппроксимирующей функции для заданного набора базисных аппроксимирующих функций

+

,….,

Решение () системы нормальных уравнений определяет значения параметров, при которых критерий качества аппроксимации J принимает минимально возможное значение При всех других допустимых значениях параметров величина критерия будет больше. тем самым полученное значение может быть принято за характеристику эффективности аппроксимации заданной функциональной зависимости функциями выбранного класса. При изменении класса аппроксимирующих функций, а также при изменении набора базисных функций значение может меняться. Сравнение различных классов функций по их эффективности (качеству) аппроксимации может осуществляться на основе сравнений соответствующих значений.

Для количественной оценки погрешности аппроксимации может использоваться также величина (Δ) максимального отклонения исходной функциональной зависимости от найденной аппроксимирующей. Для этого определяется отклонение во всех заданных точках и определяется максимальное из этих отклонений:

(2.12)

3 Ручной счёт

3.1 Табличное представление исходных данных

Таблица 3.1

i	1	2	3	4	5	6
xi	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
yi	3.22	4.21	4.85	5.63	4.77	4.2

3.2. Критерий аппроксимации

1) Запишем выражение (3.1) для критерия аппроксимации:

J = min [yi – С1 – C2*ln(x_i) – C3*x_i]². (3.1)

2) В соответствии с условиями локального минимума функции J(C1, C2, C3) найдем частные производные (18), (19), (20) и приравняем их к нулю:

=2((y_i–С₁–ln(x_i-x_i*)×(-1))= -2(y_i–С₁–ln(x_i)*-x_i*)=0 (3.2)

=2((y_i–С1–ln(x_i)(-ln(x_i)))=

= -2(y_i*ln(x_i)–ln(х_i)*С1–ln²(x_i)-х_i*ln(x_i))=0 (3.3)

=2((y_i – С1– ln(x_i-x_i*)(-x_i))=

= -2(y_i*x_i – C₁*x_i – x_i*ln(x_i)- x_i²*)= 0 (3.4)

3) Приведем полученную систему уравнений к нормальному виду (3.5), перенеся свободные члены вправо и поделив обе части на 2.

6C1 + C2ln(x_i)+ C3x_i = yi

C1ln(x_i)+ C2ln²(x_i)+ C3x_i×ln(x_i)= ln(x_i)yi (3.5)

C1x_i + C2ln( x_i)×x_i + C3 x_i² = x_iyi

4) Для удобства представим промежуточные результаты вычислений в виде таблицы:

Таблица 3.2

x[i]	y[i]	ln(x[i])	x*x	y[i]*x[i]	x[i]*ln(x[i])	y*ln(x[i])	lnx[i]*lnx[i]
3	3,22	1,098612289	9	9,66	3,295836866	3,53753157	1,20694896
4	4,21	1,386294361	16	16,84	5,545177444	5,83629926	1,92181206
5	4,85	1,609437912	25	24,25	8,047189562	7,805773875	2,59029039
6	5,63	1,791759469	36	33,78	10,75055682	10,08760581	3,210402
7	4,77	1,945910149	49	33,39	13,62137104	9,281991411	3,78656631
8	4,2	2,079441542	64	33,6	16,63553233	8,733654475	4,32407713
33	26,88	9,911455722	199	151,52	57,89566406	45,2828564	17,0400968

5) Используя значения из табл. 3.2, запишем систему уравнений (3.5) в окончательном виде (3.6):

6С1 + 9,911C2 + 33C3 =26,88

9,911C1 + 17,04C2 + 57,896C3 = 45,28 (3.6)

33C1 + 57,896C2 + 199C3 = 151,52

Полученную систему уравнений решаем методом Гаусса.

Таблица 3.3

Матрица 1
6,000	9,911	33	26,88
9,911	17,04	57,896	45,28
33	57,896	199	151,52

Коэффициенты
С1	-4,056
С2	12,533
С3	-2,212

Таблица 3.4

6) В результате решения исходной системы линейных уравнений и нахождения значений получаем запись искомой аппроксимирующей функции в следующем виде (3.7):

. (3.7)