Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М(Х)=пр.

Определение. Отклонением (центрированной случайной величиной) называется разность между случайной величиной и её математическим ожиданием.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно 0 : М(Х-М(Х))=0

Дисперсия(рассеяние) случайной величины Х – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания :

D(X)= ²=M(X – M(X))²=(x_i – M(x_i))²P_i

Вероятностный смысл дисперсии- степень рассеяния (разброса) значений случайной величины вокруг её математического ожидания

Теорема Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:

D(X)=M(X²)-[M(X)]²

Пример 1Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана законом распределения,

Х	2	3	5
Р	0,1	0,6	0,3

Решение М(Х) = 2*0,1+3*0,6+5*0,3=0,2+1,5=3,5

D(x) =(2-3,5)²*0,1+(3-3,5)²*0,6+(5-3,5)²*0,3=2,25*0,1+0,25*0,6+2,25*0,3=2,25*0,4+0,15=0,9+0,15=1,05.
D(X)=2²*0,1+3²*0,6+5²*0,3-(3,5)²=0,4+5, 4+7,5-12,25=13,3-12,25=1,05.

Пример 2 сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения

Х	-1	1	2	3
Р	0,48	0,01	0,09	0,42

У	-1	1	2	3
Р	0,19	0,51	0,25	0,05

М(X)=-0,48+0,01+0,18+1,26=1,45-0,48=0,97

M(Y)=-0,19+0,51+0,5+0,15=1,16-0,19=0,97

D(X)=0,48+0,01+0,36+3,78-0,97²=4,63-0,94093,69

D(Y)=0,19+0,51+1+0,45-0,97²=2,15-0,94091,21

Свойства дисперсии

D(C) =0, C=const
D(CX)=C²D(X)
Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

D(X Y)=D(X)+D(Y)

Следствие1 Дисперсия алгебраической суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

Следствие 2 D(C+X)=D(X), C=const

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Теорема Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях , в каждом из которых вероятность Р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании:

D(X)=npq.

-21-

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X-числа появления событий в этих испытаниях.

Решение . n=10; p=0,6 q=1- 0,6 =0,4 D(X)=npq=10*0,6*0,4=2,4

(СКО) случайной величины X- квадратный корень из дисперсии:

(X)=.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины X, а размерность(X) совпадает с размерностью (X). Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют СКО, а не дисперсию.