Независимость случайных величин.
2 случайные величины X и Y называется независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
В противном случае величины зависимы.
Несколько случаных величин называются взаимно-независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависит от того , какие возможные значения приняли остальные величины.
Действия над случайными величинами.
Суммой
(разностью или произведением ) случайных
величин X
и Y
называется случайная величина , которая
принимает все возможные значения вида
Xi+Yi(Xi-Yi
или Xi*Xj),где
i=
,j=
,
С вероятностями Pij
того , что случайная величина X
примет значение xi
, а Y
– значение yi
:
Pij =P(X=xi)(Y=ui )
Если случайные величины X и Y называемы , т.е. независимы любые события X=xi,Y=yj, то по теорема умножения вероятностей для независимых событий Pij=P(X=xi)P(Y=yj)=PiPj
Произведением
с X
случайной величины X
на постоянное число C
называется случайная величина, которая
принимает значения Cxi
с теми же вероятностями Pi,i=
M
– ой степенью X
случайной величины X
называется случайная величина , которая
принимает значения Xi
с теми же вероятностями Pi,
I=
ЛЕКЦИЯ 21.05.02.
Функции от случайных величин.
Случайная величина У, ставящая в соответствие каждому значению х случайной величины Х по некоторому правилу или закону f одно определённое значение у, называется функцией У=f(Х) от случайной величины Х.
Числовые характеристики случайной величины- числа, которые описывают случайную величину суммарно.
Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Математическое ожидание – сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины на их вероятности.
М(Х)=
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная её закон распределения
|
Х |
3 |
5 |
2 |
|
Р |
0,1 |
0,6 |
0,3 |
Решение. М(Х)= 3*0,1+ 5*0,6 + 2*0,3 = 0,3+ 3 +0,6= 3,9.
Вероятный смысл математического ожидания.
Математическое ожидание (тем точнее, чем больше испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Свойства математического ожидания
-
М(С)= С, С= const.
-
M(CX)=CM(X).
-
Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий.
М(Х У)=М(Х) М(У)
Следствие Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий.
-
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
М(ХУ) = М(Х)М(У)
Следствие Математическое ожидание произведения конечного числа взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
n n
М(ΠХi) = ПМ(Хi)
I=1 i=1