2M игры.

Пусть теперь в матричной игре две чистые стратегии имеет игрок В, а число чистых стратегий у игрока А произвольно (равно m). Это означает, что платежная матрица игры имеет вид:

Анализ такой игрыво многом напоминает рассуждения, описанные для игры 2n.

Пусть Q={q, 1-q} - произвольная смешанная стратегия игрока В. Если игрок А выбирает i-ю чистую стратегию, i = 1,2,...,m, то средний выигрыш игрока В в ситуации {i, Q} будет равнымi=1,2,...,m.(*)

Зависимость этого выигрыша от переменной q описывается прямой. Графиком функции является верхняя огибающая семейства прямых(*), соответствующих чистым стратегиям игрока А (рис. 12).

Абсцисса нижней точки полученной ломаной определяет оптимальную смешанную стратегию игрока В, а ордината -цену игры.

Замечание. Отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока А проводится по той же схеме, которая позволяет найти оптимальную смешанную стратегию игрока В в игре 2n. Пример 6. 3 х 2 игра задана матрицей .

Решение.

1) Анализ игры на наличие седловой точки. Нижняя цена игры равна 0, верхняя цена игры равна 3. Седловой точки нет. Решение игры нужно искать в смешанных стратегиях.

2) Вычисление средних выигрышей игрока В(игрок А выбирает только чистые стратегии). Из таблицы q 1-q 3 -1 1 0 получаем: (1): (2): (3): .

3) Построение верхней огибающей. Построим на координатной плоскости все три прямых, а затем и их верхнюю огибающую (рис. 13).

4) Отыскание цены игры и оптимальной смешаннойcстратегии игрока В. Нижняя точка верхней огибающей является точкой пересечения прямых (1) и (2). Решая систему уравнений

получаем

5) Отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока А. Полагая приравниваем средние выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, и находим . Таким образом, цена игры и оптимальные смешанные стратегии игроковА и В соответственно равны .

mn игры.

Решение любой матричной игры может быть найдено методами линейного программирования. При этом требуемый объем вычислений напрямую зависит от числа чистых стратегий игроков (растет с его увеличением и, значит, с увеличением размеров матрицы игры). Поэтому любые приемы предварительного анализа игры, позволяющие уменьшать размеры ее платежной матрицы или еще как-то упрощать эту матрицу, не нанося ущерба решению, играют на практике весьма важную роль. Правило доминирования.

В целом ряде случаев анализ платежкой матрицы обнаруживает, что некоторые чистые стратегии не могут внести никакого вклада в искомые оптимальные смешанные стратегии. Отбрасывание подобных стратегий позволяет заменить первоначальную матрицу на матрицу выигрышей меньших размеров.

Опишем одну из таких возможностей более подробно.

Пусть А= -произвольная mn - матрица. Будем говорить, что i-я строка матрицы А не больше j -й строки этой матрицы , если одновременно выполнены следующиеn неравенств . При этом говорят также,что j-я строка доминирует i-ю строку, или что стратегия Аигрока А доминирует стратегию А.

Замечание. Игрок А поступит разумно, если будет избегать стратегий, которым в матрице игры отвечают доминируемые строки.

Если в матрице А одна из строк (j -я) доминирует другую строку (i-ю), то число строк в матрице А можно уменьшить путем отбрасывания доминируемой строки (i-й).

Аналогично, можно определять l-й столбец доминирующий k-й столбец, или что стратегия Вигрока В доминирует стратегию В. При этомразличие бкдет только в знаках неравенств, то есть для k-го столбца меньшего l-го столбца неравенства примут вид:

.

Замечание. Игрок В поступит разумно, если будет избегать стратегий, которым в матрице игры отвечают доминируемые столбцы.

Если в матрице А один из столбцов (l-й) доминирует другой столбец (k-й), то число столбцов в матрице А можно уменьшить путем отбрасывания домииируемого столбца (k-го). Замечание. Оптимальные смешанные стратегии в игре с матрицей, полученной усечением исходной за счет доминируемых строк и столбцов, дадут оптимальное решение в исходной игре: доминируемые чистые стратегии игроков в смешении не участвуют - соответствующие им вероятности следует взять равными пулю. Пример 7. Рассмотрим игру с матрицей

Сравнивая строки матрицы, видим, что 1-я строка совпадает с 4-й строкой, или, что то же, стратегия Адублирует стратегию А. Значит, одну из этих строк можно вычеркнуть, не нанося ущерба решению

Поэлементно сравнивая 1-ю и 2-ю строки, замечаем, что 1-я строка доминирует 2-ю строку, или, что то же, стратегия Адоминирует стратегию А.Это вновь позволяет уменьшить число строк матрицы

Замечая, что 4-й столбец полученной матрицы доминирует ее 3-й столбец, и вычеркивая его, приходим к игре с 2 х 3-матрицей

Решая эту 2 х 3 игру графическим методом, находим ее решение - цену игры и оптимальные смешанные стратегии игроков А и В: v = 0,

Возвращаясь к исходной 4 х 4 игре, получаем окончательный ответ: v = 0,

Замечание. При отбрасывании доминируемых строк и столбцов некоторые из оптимальных стратегий могут быть потеряны. Однако цена игры не изменится, и по усеченной матрице может быть найдена хотя бы одна пара оптимальных смешанных стратегий. Аффинное правило.

При поиске решения матричных игр часто оказывается полезным следующее свойство.

Допустимые преобразования матрицы игры и ее цена. Оптимальные стратегии у матричных игр, элементы матриц А и С которых связаны равенствами i=1,2,…,m; k=1,2,…,n, где λ>0,а µ - произвольно, имеют одинаковые равновесные ситуации (либо в чистых, либо в смешанных стратегиях), а их цены удовлетворяют следующему условию

Пример 8. Элементы матриц

связаны равенством i=1,2; k=1,2,3. Поэтому цена игры с матрицей С легко вычисляется (см. пример 7).

Основные этапы поиска решения матричной игры.

1-й этап - проверка наличия (или отсутствия) равновесия в чистых стратегиях (при наличии равновесной ситуации указываются соответствующие оптимальные стратегии игроков и цена игры).

2-й этап - поиск доминирующих стратегий (в случае успеха этого поиска - отбрасывание доминируемых строк и столбцов в исходной матрице игры).

3-й этап - замена игры на ее смешанное расширение и отыскание оптимальных смешанных стратегий и цены игры.