Бесконечный скачок

В точке значение функции вычислить нельзя, так как на 0 делить нельзя.

Теорема

Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения:

4. Мера и нечеткая мера

Понятие меры было введено для частных случаев Э. Борелем К. [18], К. Жорданом [19] и А. Лебегом [20]. В современной теории меры Banon G. формулирует его следующим образом, [11].

Пусть заданы области определения: аддитивный класс 2^x в пространстве X на универсальном множестве X; значения – множество действительных чисел R. Функция множества называется мерой , если выполняются условия {1,2,3}:

1. ограниченность -;

2. неотрицательность -;

3. аддитивность -.

В теории нечётких множеств используется понятие «нечеткая мера», на основе которой определяется функция доверия.

Пусть теперь заданы области определения, аддитивный класс 2^А в пространстве А на универсальном множестве X; значения - отрезок [0,1] на множестве действительных чисел.

Функция множества называется нечеткой мерой g:

, если выполняются условия {1,2,3}:

1. ограниченность – g (Ø) = 0, g(x)=1;

2. монотонность – для

3. непрерывность – для A_n2^A и монотонной последовательности

Тройка называется пространством с нечеткой мерой.

Задача построения нечетких мер

Пусть в результате некоторого наблюдения или эксперимента в для,стали известны (измерены) значения функции.

Задача построения нечеткой меры заключается в том, чтобы пос помощью какого-либо правила, определить.

В отличие от меры m, нечеткая мера , по определению, не является аддитивной, т.е.≠.

Поэтому М. Сугэно [21] постулировал λ-правило для построения нечетких мер с параметром нормировки λ:

В частном случае, при ,λ - правило запишем следующим образом:

Если теперь так задать, чтобы, то, с учётом

, получим выражение для параметра нормировки λ:

(1.9)

Дальнейшее рассмотрение построения нечетких мер требует их аппроксимации с применением (L-R) функции по Д. Дюбуа и А. Праду [22].

Это может быть выполнено для конкретных нечетких мер из их классификации.

Представим классификацию нечетких мер по Banon G. [11]:

НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ

Функция доверия. Мера необходимости

λ>0 λ=0 λ<0

Рис.1.4. Классификация нечетких мер.

4. Нечеткие множества: определение и формы записи в операциях и

методах представления знаний

Заданы: дискретная область определения – аддитивный класс 2^Х в пространстве Х на универсальном множестве Х; область значения – отрезок [0,1] на множестве действительных чисел.

Аксиома 4: функция множества А называется функцией принадлежности μ, если для любых она отображает область определения на область значения:

μ: 2^X[0,1]. (1.10)

Каждому значению μ(x_i) дается одна из следующих понятийных интерпретаций {1,2,3}:

1. нечеткость суждения ;

2. субъективная совместимость x_i и A;

3. мера нечеткости x_i.

Обобщением данных свойств является понятие «нечеткость» (fuzzy) или принадлежность элемента x_i множеству A.

Аксиома 5: нечеткое множество НМ есть совокупность упорядоченных пар- элементов множества А и соответствующих им значений функции принадлежности:

{|x_i, μ(x_i)|}, (1.11)

где А ={{x_i}}, iI{1,2,…n}.

Множество А называется носителем нечеткого множества.

На примере носителя А ={x₁,x₂,x₃} и значений функций принадлежности μ(x₁)=,μ(x₂)=μ₂, μ(x₃)=μ₃ приведем основные формы записи нечётких множеств:

А = {x₁, x₂, x₃}, (1.12)

μ_A = μ₁, μ₂, μ_3.

μ₁/x₁+μ₂/x₂+μ₃/x₃=_, (1.13)

. (1.14)

Каждое нечеткое множество может иметь многоуровневое представление в виде набора носителей, определенных для заданных значений μ:

_, (1.15)

где А_α – носитель уровня α, т.е. подмножество на области определения, для элементов которого,i{1,2,..n}, /- связка «при».

Например, если для нечетких множеств = {(x₁, 0.2), (x₂, 0.3), (x₃, 0.5)} заданы уровни представления α=0,2 и α=0,3, то получим А_0,2 = {x₁,x₂,x₃} и A_0,3 ={x₂, x₃}. Таким образом, данное нечеткое множество на уровнях 0,2 и 0,3 представлено 2-мя носителями: А_0,2 = {x₁,x₂,x₃} и A_0,3 = {x₂,x₃}.

К любому нечеткому множеству, равному {(x_i, μ_i)} с носителем А = {{x_i}} и

iI{1,2,…n}, можно добавить пару вида (x_k, 0), k{1,2,…n} и k≠i.

Такая процедура называется модификацией мощности носителя.

Базовые операции над нечеткими множествами с модифицированными носителями: нечеткое множество 1 есть {(x_i, μ_i)} и нечеткое множество 2 равное

{(x_i,)},i{1,2,…n}, сводятся к вычислению функции принадлежности результата {1,2,3,4}:

1. дополнение , γ=1-μ_i;

2. разность НМ₁\НМ₂, γ=MIN(μ_i,1-);

3. пересечение (произведение) ∩, γ=MIN (μ_i,);

4. объединение (сумма) , γ=(μ_i,).

1.7.Функции доверия и правило Демпстера а.Р.,[23]

Заданы области: определения – аддитивный класс в пространствена универсальном множествеX; значения – отрезок [0;1] на множестве действительных чисел.

1. Ограниченность – Bel(ø)=0, Bel(X)=1;

2. Супераддитивность – для m множеств X.

(1.16)

Понятийно Bel – это, по Г. Шеферу (G. Shafer) [24], мера доверия гипотезе, которой соответствует множество в аргументе функции.

Например, если имеется гипотеза: A есть одиночное множество {x₁} или {x₂}, или {x₃}, то A={x₁}{x₂}{x₃} и мера доверия этой гипотезе будет равна Bel(A).

Рассмотрим частный случай: на множестве ={x₁,x₂} определены и . Из супераддитивности функции доверия при m =2 следует:

Bel({x₁}{x₂})Bel({x₁})+Bel({x₂})-({x₁}{x₂}). (1.17)

Из ограниченности функции доверия следует:

Bel({x₁}{x₂})=Bel(ø)=0,

Bel({x₁}{x₂})=Bel()=1. (1.18)

Используя формулу (1.17), в случае равенства и (1.18), получим:

Bel({x₁})+Bel({x₂})=1. (1.19)

Из (1.19), с учётом {x₂}={x₁}, вытекает:

Bel({x₁})=1-Bel({x₁}) . (1.20)

Соотношение (1.20) называется нормирокой Bel.

Рассмотрим применение нормированной функции доверия для обработки данных.

В наx={x₁,x₂,…,x_i,…,x_n} определена Bel и результатом некоторого эксперимента или наблюдения в является факт, который известен в виде элементаx_i и его значения функции принадлежности μ_i, то есть, как нечёткое множество НМ={(x_i, μ_i)} с носителем {x_i}, принадлежит {1,2,…,n}.

Аксиома 7. Функция доверия с простым носителем:

Bel={0, при A не включаемом в {x_i};

μ_i при A, включенном в {x_i}; 1- при A=_}, где - множество из гипотез {1,2,3}:

(1.21)

1. A есть любой элемент {x_j}, кроме {x_i};

2. A есть {x_i}, или любой другой элемент {x_j};

3. A есть универсальное множество X.

Рассмотрим теперь простейшую гипотезу: A есть однозначное множество {x_i}. Дополнительно к свойствам нечёткого множества, эта гипотеза интерпретируется как определение меры доверия факту с помощью соотношения (1.21): Bel ({xi})=.

Пусть теперь все экспериментальные данные сосредоточены на наборе, состоящем из двух фактов:

НМ={(x_i, μ_i),(x_j, μ_j)}с носителем {x_i}{x_j}, принадлежит{1,2,…,n}.

Аксиома 8:

Правило Демпстера: (композиция Bel({x_i}) и Bel({x_j})) при их объединении ({x_i}{x_j}), не равна X:

Bel({x_i})Bel({x_j}) = . (1.22)

Выражение (1.22) определяет меру доверия двум фактам.

Если все экспериментальные данные сосредоточены на наборе, состоящем из m фактов НМ={(x_i,)} с носителем {{x_i}}, iI{1,2,…,n}, m=#I, то получаем композицию:

, (1.23)

Выражение (1.23) определяет меру доверия набору из m фактов.

1.8. Нормировка функций в теории нечётких множеств

В наопределена и нормирована_:

. (1.24)

Опыт системных аналитиков говорит: использование только нормированных функций приводит к тривиальным результатам.

Для устранения тривиальности в теории нечётких множеств изначально заложена ненормированность функции принадлежности:

(1.25)

Таким образом, в нечётких технологиях используется ненормированная входная функция , а внутренние (например,Bel) и выходные – нормированы.

Это позволяет учитывать все особенности и противоречия внешнего (физического) мира, а на выходе из технологии (дефаззификация) получать результаты в привычном диапазоне, например от 0 до 1, или в процентах.

1.9. Нечёткие отношения: прямая и обратная задачи

В наопределены нечёткие множества.

, (1.26)

Аксиома 9:

Нечёткие отношения (НО) двух нечётких множеств есть совокупность упорядоченных пар {x_i, x_j} и соответствующих им значений функции принадлежности:

. (1.27)

Нечёткое отношение между НМ₁ и НМ₂ есть частный случай использования композиционных правил нечёткого ввода НМ₁ => НМ₂.

Пусть имеется два набора факторов НМ₁= {(x_i, μ_i)}, где i равно от 1 до n, НМ₂= {x_j, μ_j}, где j равно от 1 до n и установлена зависимость между ними в виде правила: НМ₁ => НМ₂, которому соответствует нечёткое отношение {(x_i,x_j), (μ_i, μ_j)}. Теперь, если известен набор фактов НМ₁^’= {x_i^’, μ_i^’}, где i принадлежит от 1 до n, то можно сделать нечёткий вывод, что или поопределить, используя правило композиции:

(1.28)

перебором , или методом С.Ю. Маслова, [25]. Приближённое решение

(в сторону уменьшения Bel):

, (1.29)

где μ_ji - матрица транспонирования относительно μ_ij.

Глава 2. Методы представления знаний с использованием

Приближенных и нечетких множеств