5.5 Контрольные вопросы к разделу 5

1. Каким условиям должна удовлетворять модель математического программирования, чтобы для ее решения можно было применить метод Лагранжа?

2. Допустим, модель нелинейного программирования имеет пять переменных и семь ограничений, сколько коэффициентов Лагранжа следует включить в функцию Лагранжа?

3. Какая связь существует между экстремумами целевой функции и функции Лагранжа?

4. Каков экономический смысл функции Лагранжа?

5. Можно ли применять метод Лагранжа для решения задач нелинейного программирования с ограничениями- неравенствами?

6. Каким условиям должна удовлетворять модель математического программирования, чтобы для ее решения можно было применить метод динамического программирования?

7. Допустим, задача нелинейного программирования имеет аддитивную целевую функцию, семь переменных и два ограничения. Сколько шагов будет в решении этой задачи методом динамического программирования?

8. Сколько неизвестных содержится в оптимизационной задаче, представляющей собой шаг динамического программирования?

6 Наиболее распространенные модели

МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задача осмесях.Из имеющихся видов сырья нужно получить путем смешивания новый продукт с заданными характеристиками. Стоимость смеси должна быть минимальной.

Смесь состоит из n видов сырья, каждый из которых содержитmвидов веществ.

Пусть – количество i-го вещества в единице j-го вида сырья, цена которого –.

и– соответственно наименьшее и наибольшее допустимое количествоi-го вещества в смеси.

– объемj-го сырья.

Неизвестные – количество сырьяj–го вида, которое будет использовано для производства смеси. Общая стоимость смеси должна быть минимальна.

Математическая модель:

Задача об оптимальном плане выпуска продукции. Пусть для изготовления каждого изnвидов продукции требуетсяmвидов ресурсов.

Известны: – расходi-го ресурса на единицуj-го вида продукции ();

– прибыль от реализации единицыj-й продукции;

– запасы ресурсов;

– нижний и, соответственно, верхний допустимый объемj-й продукции.

Требуется определить – объем выпуска каждого вида продукции. Причем прибыль от реализации всех видов продукции должна быть максимальной при имеющихся объемах ресурсов и ограничениях на выпуски каждого вида продукции.

Математическая модель:

.

Задача планирования производства с помощью производственной функции. Пусть выпуск продукции на предприятии описывает производственная функция

.

Здесь – выпуск предприятия;

a1, a2, …, an – известные числовые параметры, которые получаются с помощью статистической обработки исходных данных;

–факторы производства.

Обозначим – затраты, связанные с использованием единицыj-го фактора.

Требуется максимизировать выпуск продукции

при условиях:

(ограничение на суммарные затраты всех факторов);

.

Основная задача производственного планирования. Для выпуска комплектной продукции (например, агрегата механизмов) имеетсятехнологий. В одном комплекте элементов-го вида штук (s=1,2, …,l).

Для производства деталей комплекта используются m видов сырья, количество которых задано:. При этом за один производственный цикл поj-й технологии (j=1,2, …,n)i-й ингредиент расходуется в количествеединиц и деталейs-го вида получаетсяштук.

Требуется определить план производства, представляющий собой интенсивности применения каждой технологии. Под интенсивностью применения некоторой j-й технологии понимают– число циклов производства по данной технологии. Задача заключается в выборе плана, максимизирующего число полных комплектов продукции, при заданных ограничениях на объемы используемых видов сырья.

По плану i-й ингредиент расходуется в количестве

единиц и деталей s-го вида получаетсяштук, что позволяет их использовать для составлениякомплектов и, таким образом, число полных комплектов равно

.

Необходимо максимизировать число полных комплектов при ограничениях на использование имеющихся запасов ресурсов:

;

;

.

Задача оптимизации межотраслевых потоков. Пусть каждая из отраслей народного хозяйства производит только один продукт. Эта продукция используется другими отраслями в качестве сырья, а также расходуется на удовлетворение конечного спроса(потребление, инвестиции, экспорт).

Известны:

() – удельные расходы каждого вида продукции на производство всех других видов;

– максимально возможный объем производства каждого продукта и его минимальный объемдля внепроизводственного потребления;

– стоимость единицы продукцииj-го вида.

В задаче требуется найти такой план производства и такой план конечной продукции, чтобы общая стоимость конечной продукции была максимальной при ограничениях на объемы производства, выпуск конечной продукции и технологических ограничениях на выпуск продукции.

;

ограничения на объемы производства: ,;

ограничения на выпуск конечного продукта: ;

технологические ограничения на выпуск продукции

.

Задача о назначениях.Имеетсяnмеханизмов (работников), которые нужно распределить поn работам так, чтобы при заданной производительности каждого механизма (работника) на каждой из работ, суммарный эффект был максимальным.

Пусть () – производительностьi-го механизма (работника) наj-й работе;

Требуется отыскать такой план распределения механизмов по вида работ, при котором суммарная производительность всех механизмов максимальна, т.е.

при ограничениях:

1) каждый механизм выполняет одну работу

;

2) каждый вид работы выполняется только одним механизмом

Кроме описанных выше, к часто используемым математическим моделям относятся:

– задача оптимизации раскроя материалов;

– задача оптимальной загрузки оборудования;

– задача размещения и развития производства;

– задача оптимизации отраслевой структуры агрофирмы.