§10.3. Статистическая (апостериорная) вероятность

Гораздо чаще, чем классическая (априорная) вероятность, встречается и соответствует широкому кругу опыта и в большей мере служит фактическим основанием для разработки логической вероятности вероятность статистическая (апостериорная). Ключевым для понимания этой разновидности вероятности является понятие относительной частоты. Последняя представляет собой отношение числа появлений изучаемого события в серии испытаний в данных условиях к числу всех испытаний, в которых это со­бытие могло бы появиться при тех же условиях.

• Пример

Допустим, мы хо­тели выяснить, какой процент женщин в большом городе имеет хотя бы одного ребёнка. Для этих целей мы взяли достаточно обширную, разнообразную выборку женщин данного города (например, 5000 человек) и выяснили, что 1500 из них имеет хотя бы одного ребёнка. Таким образом, мы получили, что относительная частота свойства «иметь хотя бы одного ребёнка» у рассмотренной группы женщин составляет 0,3. Полагая, что исследованная выборка должна показывать усреднённый результат, и перенося свойство «вероятность иметь ребёнка для некоторых женщин данного города составила 0,3» на женщин всего города (на всю популяцию), получим заключение: «Вероятность иметь ребёнка у любой из женщин данного города равна 0,3».

В случаях как классической, так и частотной вероятностей с каждым элементарным событием или высказыванием о нём (для выражения чего используем символ пропозициональной переменной — а либо символ правильно построенной формулы КЛВ — А) удаётся увязать вполне определённую по количеству вероятность (для выражения чего используем запись — P(а) или P(А)). P(А) — частным случаем которой является P(а) — принимает численные значения в интервале [0, 1] (от «нуля» до «ста» процентов): значение [0] свидетельствует о невероятности наступления элементарного события а либо сложного события А; значение [1] свидетельствует о достоверности наступления простого события а либо сложного события А. Под сложным событием будем понимать входящие в полную систему несовместимых результатов опыта её подсистемы (подклассы). Каждый из таких подклассов составлен из элементарных событий и на языке классической логики высказываний может быть представлен формулами: (р), (рq), (рq), (рq), (р≡q) и т. д.

• Пример

Применительно к результатам бросания идеальной шестигранной игральной кости сложное событие, выражаемое формулой (р≡q), соответствует высказыванию «чётное число выпадает тогда и только тогда, когда выпадает число, делящееся на два», и вероятность этого сложного события составляет ¹/₂, поскольку чётных, делящихся на два чисел в полной системе результатов имеется три — {2, 4, 6}. Запись сложного события (рq) означает, например, «выпало чётное число и выпало число, делимое на шесть». Чётное число выпадает с вероятностью ¹/₂, но чётных чисел на шестигранной игральной кости три, при этом только одно из них делимо на шесть (т. е. вероятность числа 6 в совокупности чётных чисел шестигранной игральной кости равна ¹/₃), поэтому описываемая в данном сложном событии ситуация будет соответствовать действительности с вероятностью ¹/₆. Сложное событие, фиксируемое формулой (рр), имеет вероятность, равную 1, поскольку означает ситуацию «выпадает либо чётное, либо нечётное число», которая осуществляется абсолютно при любом бросании. Для сложного события формы (рр), являющейся в КЛВ фиксирующей нарушение закона противоречия тождественно-ложной формулой, будем иметь вероятность, равную 0, поскольку такое событие в принципе невозможно.

Поскольку сложные события могут быть записаны разнообразными, в том числе выполнимыми, формулами КЛВ, то те из последних, что являются тавтологиями (законами, тождественно-истинными формулами), имеют вероятность, равную 1, а проводимые в этих формах заключения являются достоверными. Соответственно, сложные события, фиксируемые в свою очередь невыполнимыми (тождественно-ложными) формулами, имеют вероятность, равную 0, т. е. являются невозможными. Те же из выполнимых формул, что не относятся к тождественно-истинным формулам, т. е. являются логически недетерминированными, служат для фиксации событий, имеющих вероятность больше 0, но меньше 1: 0<P(А)<1. Это объясняется тем, что множество истинностных значений всякой не являющейся тождественно-истинной выполнимой формулы в силу принципа двузначности представлено двумя подмножествами со значениями: 0 — ложь и 1 — истина. Каждое из подмножеств содержит строго определённое число (набор) элементов, а именно: строк, в которых данная формула принимает значений 0 либо 1. Элементы подмножества 1 принято называть положительными (благоприятными) исходами, а элементы подмножества 0 — отрицательными (неблагоприятными) исходами. Отношение количества положительных исходов (какое-то число а) к количеству отрицательных исходов (какое-то число b), т. е. ^a/_b, и есть частотная вероятность формулы, фиксирующей сложное событие: P(А).

• Пример

Возьмём в качестве фиксирующей сложное событие формулы запись на ЯКЛВ одного из не дающих достоверного вывода модусов условно-категорического умозаключения: ((аb)b)а). В содержательном варианте это может быть высказывание: «Если чёрная кошка перебегает мне дорогу, то я имею неприятности, но неприятности я имею, значит, чёрная кошка перебежала мне дорогу». Истинностная таблица данной формулы:

а	b	((а  b)			b)  а
и	и		и	и	и
и	л		л	л	и
л	и		и	и	л
л	л		и	л	и

Рис. 29

Очевидно, что вероятность истинности этой формулы равна ³/₄: P((аb)b)а)=³/₄.