Диф.ур-м с запазд.аргументом

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lim K (t)= lim K0eλt = ∞ и решение является неустойчивым (имеет взрывной характер), а

lim K (t)= lim K0e−

t = 0 и решение устойчивое (имеет затухающий характер)

.pdf

Скачиваний:

550

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

481.44 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ, ПОЯВЛЯЮЩЕМСЯ ПРИ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С УЧЕТОМ ВРЕМЕННОГО ЛАГА

щим аргументом (145), то с учетом (144) найдем и законы изменения других величин, характеризующих воспроизводство.

В дальнейшем для простоты возьмем единичный лаг τ =1. Тогда вместо (145) бу-

дем иметь следующее дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом
	dK (t)	= aK (t)−bK (t −1).	(146)

	dt
Решение последнего ищем методом Эйлера в виде
	K (t)= K0eλt ,		(147)
где K0 = K (t)\|t=0 – начальное условие задачи.
Имеем	dK (t)	= K0λeλt , K (t −1)= K0λeλ(t−1) = K0e−λeλt .	(148)

	dt

Подставляя (147) в (146), получим трансцендентное характеристическое уравнение для определения λ

λ = a −be−λ .

(149)

Ясно, что характер решений уравнения (146) согласно (147) существенным образом зависит от значения характеристических чисел λ . Если λ вещественно, то при λ > 0

(рис. 3.)

K(t)

λ > 0

λ < 0

α3

Рис. 3. Характер решения уравнения (146) K (t) при вещественных значениях характеристических чисел λ .

Пусть теперь λ комплексное число
λ =α +iω .	(150)

решениях характеристических чисел

Тогда
K (t)= K0e(α+iω)t				= K0eαt eiωt .		(151)
Если теперь пользоваться известными формулами Эйлера (78), то из (151) получим
K (t )= K 0 eαt (cos ωt + i sin ωt )= K 0 eαt cos ωt + iK 0 eαt sinωt .						(152)
Отсюда следует, что линейно независимые решения имеют вид
K1	(t)= K0eαt cosωt ,
K2	(t)= K0eαt sinωt ,					(153)
а общее решение есть суперпозиция этих решений
K (t )= K		0	eαt (c cosωt + c sinωt ),			(154)
				1	2
где c1 и c2 можно найти из начальных условий.
Иногда удобно решение (154) представить в виде
K (t)= K0 Aeαt cos(ωt +ε),						(155)
где A и ε	можно найти из начальных условий.

Известно, что характеристическое уравнение (149) помимо решения (150) будет иметь и решение λ =α −iω , которое, однако, к новым независимым решениям уравнения (146) не приводит.

Таким образом, как видно из (153), в случае комплексных корней характеристиче-

ского уравнения решение дифференциального уравнения (146) имеет колебательный ха-
рактер с частотой ω , причем при α > 0 оно		→ ∞ (взрывное решение), а при α < 0 оно
→ 0 (затухающее решение) (рис 4).
K(t)		K(t)
α>0
K 0 A cos ε			α<0
	K 0 A cos ε		α<0
	K 0 A cos ε
0	t	0	t
	t	0	t

Рис 4. Колебательный характер решений уравнения (146) K (t) при комплексных

λ =α ±iω

4.2. Характеристическое уравнение. Случай вещественных корней характеристического уравнения

Как было отмечено выше, характеристическое уравнение (149) относительно неизвестных λ является трансцендентным уравнением и найти его аналитическое решение не удается. Поэтому часто применяем численный или графический метод решения уравнения (149). Ниже постараемся графически решить уравнение (149) и анализировать характер

полученных решений. Для этого удобно уравнение (149) переписать в виде
e−λ =		a − λ		.	(156)

			b
Построим графики функций
z	(λ)= e−λ ,
1			a −λ
z2	(λ)=				(157)
			b

в плоскости z0λ (рис 5).

	z1 (λ)		z2 (λ)
0	C				λ	a −λ
		z (λ)= e−λ	и z		(λ)=		.
	Рис 5. Графики функций			2

		1				b

Как видно из рис. 5., при выполнении условия 0B = ba <1 график функции z1 (λ)

(экспоненциальная зависимость) и график функции z2 (λ) (прямая) на пересекаются. Это означает, что характеристическое уравнение (149) не имеет вещественных корней (рис. 5).

Получим условие, при выполнении которого кривая z2 (λ) касается прямой z1 (λ). Для этого заметим, что в точке касания должны выполняться условия

e−λ =		a −λ	,
		b
					(158)
	−λ ′	a −		λ ′
(e
	)	=
			b

или		a −λ
e−λ	=	a −λ		,
e−λ	=			,	(159)
		1	b

−λ
e	=		.
e	=		.
		b
		b
Из (159) имеем
b = eλ , λ = ln b , e−ln b = a − ln b
или				b
или
a −lnb =1.					(160)
Последнее является условием касания кривой z1 (λ)					и прямой z2 (λ) (на рис.6. Ρ есть точ-

ка касания).

Очевидно, что при выполнении условия (160) характеристическое уравнение (149) будет иметь один вещественный корень.

	M Z
	1
	P	z2 (λ)
	B	Q
	B	z1(λ)
		z1(λ)
	z2 (λ)
		λ
	0	C
	Рис.6. Прямая z1(λ)касается кривой z2 (λ) в точке Ρ
		или пересекает ее в точках Q и M
	Если фактор a	остается неизменным, а фактор b уменьшается, то прямая z2 (λ)

движется вокруг точки C по часовой стрелке и при этом может пересекать кривую z1 (λ) в двух точках (например точки Q и M на рис. 6). Это означает, что характеристическое

уравнение (149)будет иметь два вещественных корня.

Если при неизменном a b возрастает, то кривая z1 (λ) будет двигаться против часовой стрелки и точек пересечения с графиком функции z2 (λ) не будет (у характеристического уравнения (149) нет вещественных корней). Таким образом приходим к выводу:

1.если a −lnb =1, то характеристическое уравнение (149) имеет один вещественный корень;

2.если a −lnb >1, то характеристическое уравнение (149) имеет два вещественных

корня;

3.если a −ln b <1, то характеристическое уравнение (149) не имеет вещественных

корней.

4.3.Случай комплексных корней характеристического уравнения

Теперь рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение (149) имеет ком-

плексные корни вида
λ =α ±iω .					(161)
Подставляя (161) в характеристическое уравнение (149), получим
α ±iω = a −be−(α ±iω) = a −be−αemiω =					(162)
= (a −be−α cosω)±ibe−α sinω.					(162)
= (a −be−α cosω)±ibe−α sinω.
Отсюда следует система уравнений относительно α и ω
			−α	cosω,
α = a −be				cosω,	(163)
					(163)
	−α	sinω.
ω = be		sinω.

Так как нас в основном будет интересовать величина ω (частота колебаний), то постараемся исключить из системы (163) α и получить уравнение для определения ω .

Из второго уравнения системы (163) имеем
eα =	bsinω	и α = ln b + ln	sin ω	.	(164)
	ω
			ω

Тогда из первого уравнения системы (163) с учетом (164) приходим к следующему уравнению для определения величины ω

+ln

sinω

= a −lnb ,

(165)

tgω

где

sinω

0 < a −lnb <1 или

+ln

<1 (нет вещественных корней).

tgω

Обозначая

sinω

f (ω)=

+ln

(166)

tgω

уравнение для ω (165) перепишем в виде

f (ω)= a −lnb .

(167)

Уравнение (167) будем решать графическим способом. Для этого построим графи-

ки функций z1

(ω)= f (ω)

и z2 (ω)

= a −lnb в плоскости z0ω . Ясно, что графиком функции

(ω)

является прямая, параллельная оси 0ω (рис. 7). Для построения графика функции

(ω),

проведем предварительное исследование этой функции. Заметим, что функция

(ω)

не определена в области (2n −1)π <ω < 2nπ , где n =1,2,3,.... Далее имеем

lim f (ω)= lim

+limln sinω

=1,

(168)

tgω

ω→0+0

lim f (ω)= lim

+ lim ln

sin ω

= −∞.

tgω

ω→π−0

Функция

f (ω) периодична с периодом 2π , причем период колебаний T =

2π

. Ко-

гда 0 <ω <π , то

2π

> 2 , то есть период колебаний больше, чем фиксированное отстава-

ние капиталовложений τ =1. При изменении ω в областях 2π <ω < 3π , 4π <ω < 5π и так далее (частота колебаний возрастает) период колебаний уменьшается и меньше единицы. Так как все циклы высокочастотных колебаний K (t) завершаются в пределах фиксиро-

ванного периода отставания капиталовложений, то они представляют ограниченный интерес. Самая интересная область изменения ω это область 0 <ω <π .

Витоге проведенного анализа можно схематично строить графики функций z1 (ω)

иz2 (ω) (рис.7). Очевидно, что абсциссы точек A, B,C и т.д. пересечения прямой и графика функции z1 (ω) дают решения уравнения (165) (см. рис. 7). Для найденных интерес-

ных значений 0 <ω <π фактор затухания α найдем из уравнения (164). Если α > 0 , то колебательное движение будет возрастающим (взрывным), а если α < 0 , то колебательное движение будет затухающим. В большинстве случаев реализуется второй случай, когда α < 0 и колебательное движение является в более или менее затухающим.

Z (ω)

4			Z1 (ω)		Z1 (ω)
4			Z1 (ω)
3	Z1 (ω)				Z2 (ω)= a −lnb <1
2	Z1 (ω)				Z2 (ω)= a −lnb <1
1	A	B		C
		B		C
0	π	2π	3π	4π	ω
-1	π	2π	3π	4π	ω

-2

-3

-4

Рис. 7. Графики функций z1 (ω) и z2 (ω). Абсциссы точек A, B,C

решениями уравнения (165).

и т.д. являются

4.4. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом, описывающего динамику национального дохода в моделях с лагами (потребление пропорционально национальному доходу)

В некоторых макроэкономических моделях динамики общественного продукта и национального дохода в качестве основной величины, характеризующей экономический процесс в зависимости от времени, принято брать величину национального дохода как функцию от времени (Y (t)). Исходя из самого простого закона баланса производства и

распределения валового общественного продукта для каждого момента времени
где	Y (t)=U (t)+C(t),		(169)
где	Y (t)	- национальный доход в момент времени t ,
	U (t)	- накопление в момент времени t ,
	C(t)	- потребление в момент времени t

и имея в виду, что U (t)= B dYdt(t), где B – капиталоемкость национального дохода (отно-

шение производственного накопления к приросту национального дохода) или акселера-

тор, получим следующее неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка,
Y (t)−	1	Y (t)= −C(t),	(170)
	B
		B
описывающее динамику национального дохода Y (t ) во времени.

При получении (170) допускалось отсутствие временного лага между производственным накоплением и приростом национального дохода. Это серьезное упрощение реальности. Как известно, инвестиционные временные лаги являются важными характеристиками процесса воспроизводства. Если обозначить величину сосредоточенного лага через τ и учитывать, что накопление в момент времени t зависит от национального дохода в момент времени t −τ , и от потребления в момент времени t −τ , то из (170) получим следующее линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с за-

паздывающим аргументом			(171)
Y (t)− 1		Y (t −τ)= −C(t −τ).
.
		B
	B
Предположим,		что потребление C(t −τ)	как функция от времени меняется по закону
(пропорционально национальному доходу)
C(t −τ)= (1−α)Y (t −τ),			(172)

где 0 ≤α ≤1 – постоянная норма производственного накопления. Подставляя (172) в (170), после несложных преобразований получим

.	(173)
Y (t)−α Y (t −τ)= 0 .	(173)
B
Решение последнего ищем методом Эйлера
Y(t)= Y(0)eλt ,	(174)

где λ – пока неизвестные числа, показывающие темп прироста национального дохода, Y (t) – значение национального дохода в начальный момент времени t = 0 .

Из (174) следует, что

.
Y(t)= Y(0)λeλt ,
Y(t -τ)= Y(0)eλ(t-τ ) = Y(0)eλt e−λτ .	(175)

Подстановка (175) в (173) приводит нас к характеристическому уравнению вида

λ =	α e−λτ .	(176)
	B

Заметим, что если τ = 0 (нет запаздывания), то прирост национального дохода λ выражается формулой

λ =	α .	(177)
	B

Если τ ≠ 0 , а α =1 (α принимает свое наибольшее значение), то и прирост национального дохода α принимает свое наибольшее значение и оно выразится из (176) формулой

λнаиб =	1	e−λнаибτ .			(178)
λнаиб =		e−λнаибτ .			(178)
	B
Разложим в ряд Тейлора функцию e−λτ					вокруг точки τ = 0
e−λτ =1−λτ +			λ2 τ 2 −	λ3 τ 3 +... .	(179)
Так как величины α			2!	3!
Так как величины α			и λ(τ)малые параметры, то при не очень больших значениях τ
		B

(179) можно ограничиваться двумя членами разложения и тогда из (176) получим

λ	α	(1−λτ )		(180)
или	B
		α
λ			.	(181)
	B
		+ατ

Построим график функции прироста национального дохода λ в зависимости от запазды-

вания τ при постоянной норме накопления α учитывая при этом, что limλ(τ)= 0 , то есть

τ→∞

λ(τ) монотонно убывает при непрерывном возрастании τ (рис. 8).

λ(τ)

α 1

α3 <α2 <α1

α3

α 2

α3

α2

α 3

α2

α3

Рис. 8. Зависимости λ(τ)при α = const .

Уменьшение темпа национального дохода λ(τ) при увеличении временного лага τ объясняется тем, что величина накопления замораживается и не может использоваться

для расширения производства.
λ(τ)	Ниже в таблице численно показано изменение прироста национального дохода
λ(τ)	при увеличении лага		τ при постоянном B = 3,5		для различных значений
α(1;0,2;0,1).

		B = 3,5		λ(τ)
		α =1		τ α = 0,2	α = 0,1
0		0,286		0,057	0,029
1		0,226		0,054	0,028
2		0,194		0,052	0,027
3		0,171		0,049	0,026
4		0,154		0,047	0,025

4.5. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом, описывающего динамику национального дохода в моделях с лагами (потребление экспоненциально растет с темпом прироста)

Предположим, что функция потребления C(t) возрастает с непрерывным темпом

прироста r по экспоненциальному закону
C(t)= C(0)ert ,	(182)

где C(0)= C(t)|t=0 – значение потребления в начальный момент времени. Тогда из (171) получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с запаз-

дывающим аргументом				(183)
Y (t)− 1		Y (t −τ)= − 1 C(0)er (t−τ ),		(183)
.
	B		B

Y (t)|t=0 = Y (0),

которое описывает динамику национального дохода Y (t ) при экспоненциальном возрас-

тании потребления с течением времени.

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения (183) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и одного частного решения неоднородного урав-

нения (183), то есть
Yо.н. (t)= Yо.о. (t)+Yч.н. (t),			(184)
где	(t)=С eλt
Y	(t)=С eλt	,	(185)
о.о.	1

аC1 определяется из начального условия задачи.

Впредположении λ ≠ r Yч.н. (t) можем искать в виде

Y	(t)= С	ert ,	(186)
ч.н.	2

где C2 пока неизвестный коэффициент.

Из (186) имеем

2 rert ,

Y ч.н. (t)= С

(t −τ)= С

ert e−rτ .

(187)

ч.н.

Подставляя (187) в (183), получим

rert

−

ert e−rτ = −

С(0)ert e−rτ .

(188)

Отсюда

C(0)

(189)

− Brerτ

Тогда согласно (186) и (184) имеем

(t)=

C(0)

ert

(190)

1 − Brerτ

ч.н.

C(0)

(t)= C eλt

ert .

(191)

− Brerτ

о.н.

Определяя C1 из начального условия (183)

C = Y

(0)−

C(0)

(192)

1 − Brerτ

и подставляя его в (191), получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения (183)

Y	(t)=	Y (0)−	C(0)		eλt +	C(0)		ert ,	(193)
							rτ
о.н.			1 − Bre	rτ		1 − Bre

где характеристические числа λ удовлетворяют уравнению (176).

Если r > λ , то есть темп прироста национального дохода меньше темпа прироста потребления, то в (193) второе слагаемое быстрее стремится к бесконечности при t → ∞ ,

чем первое слагаемое. Это приводит к тому, что в какой-то момент времени t1 λ << r и объем национального дохода будет намного меньше объема потребления. Анализ реше-

ния (193) при r < λ приводит нас к следующему:
1. если коэффициент при eλt Y (0)−		C(0)	= 0 , то динамика развития националь-
	1	− Brerτ
ного дохода Y (t ) осуществляется с постоянной нормой накопления α(0) (норма произ-

водственного накопления в начальный момент времени) и с постоянным темпом прироста
потребления r , которое определяется из уравнения rerτ					=	α(0)	.
потребления r , которое определяется из уравнения rerτ					=		.
0						B
		C(0)				B
2. если коэффициент при eλt Y (0)−		C(0)		< 0	, то имеем процесс с уменьшаю-
2. если коэффициент при eλt Y (0)−		1 − Brerτ		< 0	, то имеем процесс с уменьшаю-
		1 − Brerτ
щиеся нормой накопления и уменьшающимся темпом национального дохода.
3. если коэффициент при eλt Y (0)−		C(0)	> 0 , то первое слагаемое в (193) растет
3. если коэффициент при eλt Y (0)−	1	− Brerτ	> 0 , то первое слагаемое в (193) растет
	1	− Brerτ

быстрее второго. Темп прироста национального дохода и норма накопления непрерывно увеличиваются, стремясь к своим предельным значениям λнаиб. и 1.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.2015150.13 Кб32Дипломная работа Давлатмирова Амира.docx
#
30.03.2015156.14 Кб28Дипломная работа Давлатмирова Амира.docx
#
30.03.201548.3 Кб7Дипломная работа обязательно должна иметь.docx
#
01.03.202553.6 Кб0Дипломная работа по психодраме Василец.docx
#
25.11.2019420.86 Кб3Дискурс УМК.doc
#
13.03.2016481.44 Кб550Диф.ур-м с запазд.аргументом.pdf
#
01.05.2025214.53 Кб0ДКР матем В-35,36 3 к 1 с.doc
#
30.03.201581.87 Кб92ДКР №8-Линии и поверхности второго порядка.pdf
#
01.04.2025100.35 Кб0для Дани.doc
#
29.03.2015444.42 Кб28добрянский район.doc
#
01.05.202591.14 Кб0Довгяло_МетодРекомендацииВИГП_2013.doc