Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Диф.ур-м с запазд.аргументом

.pdf

Скачиваний:

548

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

481.44 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

II.ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Если характеристическое уравнение однородного дифференциального уравнения (см. (70)), соответствующему неоднородному дифференциальному уравнению (81), не имеет чисто мнимых целочисленных корней, то будет существовать частное периодическое решение неоднородного уравнения (81) и его можно искать известным из теории обыкновенных дифференциальных уравнений методом подбора.

В случае, когда характеристическое уравнение однородного дифференциального уравнения (см. (70)) имеет чисто мнимые целочисленные корни, но они не совпадают с коэффициентами аргументов синуса и косинуса (см. (82)), то будет существовать периодическое решение исходного неоднородного уравнения (81).

А если корни характеристического уравнения соответствующего однородного дифференциального уравнения (см. (70)) имеют чисто мнимые целочисленные корни и они совпадают с коэффициентами аргументов косинуса и синуса (см. (82)), то неоднородное дифференциальное уравнение (79) не будет иметь периодических решений.

Пример 10. Найти периодическое решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом

.	π
x(t)− x t −	2	= sin t .	(83)
Решение. Решая соответствующее однородное уравнение
.	π
x(t)− x t −	2	= 0 .	(84)

методом Эйлера ( x = eλt ), получим следующее характеристическое уравнение для определения неизвестных λ

−π λ

λ − e 2 = 0 . (85)

Нетрудно убедиться, что уравнение (85) не имеет чисто мнимых целочисленных решений вида λ = ±ik ( k =1,2,3,...) и, следовательно, однородное уравнение (84) не имеет

периодических решений. Если теперь частное решение неоднородного уравнения (83) искать в виде

xч.н. (t)= Asin t + B cost ,

то после подстановки последнего в (83), получим A = 0 , B = −12 . Тогда частное периоди-

ческое решение неоднородного уравнения (83) будет иметь вид xч.н. (t)= −12 cost .

Пример 11. Найти периодические решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом

..	.	π
x(t)− 2 x t −		2		+3x(t) = 5sin 2t + 2cos 4t .	(86)

Решение. В примере 8 найдены периодические решения линейного однородного уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом (см. (74)), являющегося соответствующим однородным уравнением неоднородного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом (86).

II.ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Всилу того, что числа ± 2i , ± 4i не являются корнями характеристического уравнения (76), неоднородное дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом

(86)допускает периодические решения, которые можно искать методом подбора.

Так как правая часть уравнения (86) представляет собой сумму двух функций

f1 (t)= 5sin 2t ,			f2 (t)= 2cos 4t ,	(87)
то рассматривая следующие неоднородные дифференциальные уравнения
..	.	π
x(t)−2 x t −		2	+3x(t)= 5sin 2t ,	(88)
..	.	π
x(t)−2 x t −		2	+3x(t)= 2cos4t ,	(89)

мы должны искать частные периодические решения этих уравнений x(1)ч.н. (t) и x(2)ч.н. (t).

Тогда, как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, частное пе-
риодическое решение исходного уравнения будет складываться из этих решений
x	ч.н.	(t)= x(1)ч.н. (t)+ x(2)ч.н. (t).	(90)

Итак, частное решение неоднородного дифференциального уравнения (88) ищем в виде
x(1)ч.н. (t)= Asin 2t + B cos2t ,	(91)

где А и В пока неизвестные коэффициенты.

Подставляя (91) в (88), получим систему уравнений относительно неизвестных

А и В

− A − 4B = 5,

4A − B = 0.

Решения последней имеют вид

A = −175 , B = −1720 .

Тогда, согласно (91) имеем

x(1)ч.н. (t)= −175 sin 2t − 1720 cos2t .

(92)

(93)

Теперь, если искать частное периодическое решение уравнения (89) в виде
x(2)ч.н. (t)= C sin 4t + D cos4t ,
где С и D пока неизвестные коэффициенты, то поступая аналогично получим
x(2)ч.н. (t)= −				26	sin 4t −		16		cos 4t .	(94)
						233
		233
Таким образом неоднородное дифференциальное уравнение с запаздывающим ар-
гументом (86) имеет периодические решения вида
x(t)		= C1 cost +C2 sin t +C3 cos3t +C4 sin 3t −								(95)
−	5		(sin 2t + 4 cos 2t)−				2	(8sin 4t +13cos 4t),

						233
17

где C1,C2 ,C3 ,C4 – произвольные постоянные.

II.ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Пример 12. Найти частное периодическое решение неоднородного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом.

..		π	.	π	.
2 x(t)− x t −		2	+2 x t −	2	− x(t)= sin t .	(96)

Решение. Так как соответствующее однородное дифференциальное уравнение (96) имеет периодические решения при λ = ±i (см пример 9) и число единица совпадает с коэффициентом при t в аргументе синуса правой части (96), то данное уравнение не будет иметь частного периодического решения.

2.3. Комплексная форма ряда Фурье

Предположим функция f (x) интегрируема на сегменте [−π;π]. Из курса математического анализа известно, что ряд Фурье для этой функции имеет вид

					a0		∞
f (x)~					a0		+∑(an cosnx +bn sin nx),			(97)
f (x)~				2			+∑(an cosnx +bn sin nx),			(97)
где				2			n=1
где
			1		π			1	π
a0	=		1		∫	f (x)dx , an =		1	∫ f (x)cos nxdx,(n =1,2,3,...),	(98)
a0	=		π		∫	f (x)dx , an =		π	∫ f (x)cos nxdx,(n =1,2,3,...),	(98)
					−π				−π
bn	=	1			π∫ f (x)sin nxdx,(n =1,2,3,...).
bn	=	π			π∫ f (x)sin nxdx,(n =1,2,3,...).
				−π

Пользуясь известными формулами Эйлера(78), связывающими тригонометрические функции с показательной, можно получить

cosϕ =

eiϕ + e−iϕ

(99)

sin ϕ =

eiϕ − e−iϕ

(100)

Тогда согласно (99) и (100), имеем

cos nx

e inx

+ e −inx

, sin nx =

einx − e−inx

= i

e−inx − einx

(101)

Подставляя (101) в (97), получим

f (x)~

∞

−ib

+ib

+ ∑

einx +

e−inx .

(102)

n=1

Обозначая

C0 =

Cn =

an −ibn

, C−n =

an +ibn

(103)

и пользуясь (98) и (78), для введенных выше коэффициентов C0 , C±n получим следующие формулы

II.ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

C0 = 21π −π∫π f (x)dx ,

Cn =

∫ f (x)cos nxdx −i ∫ f

(x)sin nxdx

2π

−π

π∫ f (x)e−inx dx(n =1,2,3,...),

2π −π

C−n

∫

f (x)cos nxdx +i ∫

f (x)sin nxdx

2π −π

−π

π∫ f (x)einx dx(n =1,2,3,...).

2π −π

(104)

(105)

Теперь нетрудно заметить, что с учетом (103) для функции

комплексную форму ряда Фурье в виде

f (x)~ ∑∞ Cneinx .

n=−∞

f (x) из (102) получим

(106)

Заметим, что комплексные коэффициенты C n и C −n являются взаимно сопря-

женными числами.

Пример 13. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме функцию f (t)= t , заданную на сегменте [−π;π].

Решение. Согласно (106)

∞

t = ∑Cneint .

(107)

n=−∞

Вычислим комплексные коэффициенты Фурье. Имеем

t 2

tdt =

| = 0 ,

2π

−∫π

−π

−int

−int π π

−int

∫te dt =−

| − ∫e

2π

2πin

−π

2πin

−π −π

= −

π(e−int +eint )+

−int −eint )

(−1)n+1

(n =1,2,3,...).

2πin

Подставляя последнее в (107), получим

∞

n+1

t = ∑

(−1)

eint , n ≠ 0 .

(108)

n=−∞

II.ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

2.4.Отыскание частного периодического решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздывающим аргументом разложением правой части уравнения в ряд Фурье

Если характеристическое уравнение (73) не имеет чисто мнимых целочисленных решений, то разлагая в ряд Фурье правую часть неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с запаздыванием (81), можем найти частное периодическое решение этого уравнения, если его искать в виде

∞
x(t)= ∑Aneint , n ≠ 0 ,	(109)

n=−∞

где – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Ниже проиллюстрируем этот метод на конкретном примере.

Пример 14. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и с запаздыванием

x(t)+	1 x(t −π)= t ,	(110)
..	.
	2
разложением правой части в ряд Фурье.
Решение. Решая соответствующее однородное уравнение		(111)
x(t)+	1 x(t −π)= 0 ,	(111)
..	.

методом Эйлера (см. (71)), мы получим характеристическое уравнение в виде

2		λ	−πλ
λ	+	2 e		= 0 .	(112)
Уравнение (112) имеет чисто мнимые целочисленные корни вида λ = ±						1 i , которым
						2

соответствует периодическое решение однородного диф4ференциального уравнения (111)

x(t)= c

cos

sin

(113)

где c1 и c2 – произвольные постоянные.

Отсутствие

у уравнения (112) чисто мнимых целочисленных корней вида

λ = ±in(n =1,2,3,...)

допускает существование для неоднородного дифференциального

уравнения (110) периодического решения.

С учетом разложения (108), уравнение (110) преобразуется к виду

∞

n+1

x(t)+

1 x(t −π)= ∑

(−1)

eint (n ≠ 0).

(114)

n=−∞

Решение последнего ищем в виде (109).

Имеем

∞

x(t)=

∑inAneint ,

n=−∞

∞

x(t)= − ∑An n2eint ,

n=−∞

II.ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

	∞
x(t −π)= ∑(−1)n An eint ,
	n=−∞
.	∞
x(t −π)= ∑(−1)n Anineint .
	n=−∞
Подставляя (115) в (110), получим
	2(−1)n
An =	n2 [(−1)n + 2in].	(116)

Следовательно, частное периодическое решение уравнения (110) будет иметь вид

x(t)= ∑∞ [2(−1)n ]eint ,(n ≠ 0). (117)

n=−∞n2 (−1)n + 2in

III.ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

ГЛАВА III. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

3.1. Приближенный метод разложения неизвестной функции с запаздывающим аргументом по степеням запаздывания

Пусть дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом

.	[t, x(t), x(t −τ)],τ > 0		(118)
x(t)= f
разрешено относительно функции x(t −τ)
		.	(119)
x t−τ	= F t, x(t), x(t) .

Если при малом запаздывании τ разложить функцию x(t −τ значения τ0 = 0

..
.	x(t)			(−1)	n	x	n	(t)
x( t −τ ) x(t)− x(t)τ +		τ 2	+ ... +						τ n + ...,,
				n!
2!

то вместо (118) будем иметь уравнение

x(t)− x. (t)τ + x(t)τ 2 + ... + (−1)n x( n ) (t)τ n + ... = F t,x(t),x. (t) . 2! n!

) в ряд Тейлора вокруг

(120)

(121)

Исследования показали, что довольно хорошие результаты можно получить, если ограничиваться двумя членами разложения

.	.	(122)
x(t −τ) x(t)− x(t)τ .

Тогда вместо (121) будем иметь дифференциальное уравнение без отклонения аргумента

.	= F	.	(123)
x(t)− x(t)τ	= F	t, x(t), x(t) .	(123)

Ниже покажем применение этого метода на примере.

Пример 15. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом

..	.	1
x(t)− x(t)+ x(t)− x t −			= 0	(124)
x(t)− x(t)+ x(t)− x t −		2	= 0	(124)
		2

методом разложения функции от запаздывания по формуле Маклорена.

		1
Решение. Разлогая функцию	x t −		по формуле Маклорена и ограничиваясь
		2

двумя членами разложения из (124) получим линейное дифференциальное уравнение без запаздывания

..	1
x(t)−		x(t)= 0 .	(126)
	2

III.ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Решая последнее методом Эйлера, получим

x(t)= c	+c	e	t	(127)
			2
1	2

3.2.Приближенный метод Пуанкаре

Если в исследуемом процессе существует малый параметр, который входит в описываемом данный процесс дифференциальном уравнении с запаздывающим аргументом, то для приближенного решения можем применить метод Пуакаре (метод последовательных приближений). Применение этого метода покажем ниже на конкретном примере.

Пример 16. Методом Пуанкаре найти периодические решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом при наличии в нем малого параметра ε

.	π	= sin t +ε x	2	(t).	(128)
x(t)− x t −	2

Решение. Согласно методу Пуанкаре решение уравнения (128) ищем в виде разложения по степеням ε

x(t)= x(0)(t)+εx(1)(t)+ε 2 x(2)(t)+ ...,

(129)

где x(0)(t), x(1)(t), x(2)(t), … являются решениями соответственно в нулевом, в первом, во втором и так далее приближении.

Из (129) имеем

.					.	0						.							2		(2)
x(t)					&	0						&1	(t)+ε						2	x	(2)		(t)+... ,																	(130)
x(t)				= x			(t)+ε x						(t)+ε							x			(t)+... ,																	(130)
					π						(0)		−		π					εx		(1)			π		+ε		2	x		(2)			π			+... .
x t −					2	= x						t	−			2	+			εx			t −				+ε			x			t −					+... .
					2											2									2										2
Подставляя (130) в (128), получим																												π										π
.							.		(t)+ε							(2)		(t)						(0)										(1)
&	0						&	1					2	x		(2)				+... − x				(0)			−				−εx			(1)						−
x		(t)+ε x												x						+... − x						t	−	2			−εx			t −				2		−
																												2										2		(131)
										π																(t)+ηx							(t)+ε							(131)
−ε			2	x	(2)			−		π														(0)						(1)					2	x	(2)			2
−ε				x		t		−			2	−... = sin t +ε(x																								x			(t)+...) .
											2

В нулевом приближении оставляем в (131) только члены, содержащие ε 0 =1

x	(0)	(t)− x	(0)	π	= sin t .	(132)
			t −	2

Соответствующее однородное уравнение
x	(0)	(t)− x	(0)	π	= 0	(133)
			t −	2

решаем методом Эйлера. То есть ищем решение в виде x(0)(t)= eλt .

Подставляя последнее в (133), получим характеристическое уравнение

π	λ	=1.	(134)
λe 2

III.ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Так как λ = ±i не являются решениями уравнения (134), то неоднородное уравнение (132) имеет периодическое решение. Ищем его в виде

x(t)= Acost + Bsin t , (135)

где неопределенные коэффициенты А и В найдем, требуя, чтобы (135) удовлетворяло уравнению (132). Итак, найдем

B = 0 , A = −12 .

И тогда частное периодическое решение неоднородного дифференциального урав-

нения с запаздывающим аргументом (132) представится в виде
x(0)(t)= −	1 cost .	(136)
	2

Для того, чтобы найти частное периодическое решение дифференциального уравнения (128) в первом приближении (x(1)(t)), в дифференциальном уравнении (134) помимо

членов с коэффициентами ε0												мы оставляем и члены с коэффициентами ε . Нетрудно за-
метить, что при этом получим уравнение
	(0)				.	(t)− x			(0)			π	(1)	π	(0)	2
x	(0)				&1				(0)			π	(1)	π	(0)	2	(137)
x			(t)+ε x							t −		−εx	t −	= sin t +ε(x		(t)) .	(137)
Учитывая, что x(0)(t)												2		2
Учитывая, что x(0)(t)								выражается формулой (136), из (137) получим дифференциальное
уравнение с запаздывающим аргументом, которому удовлетворяет x(1)(t)
&	1				(1)		π			1
.		(t)− x									(1 + cos 2t).
x					t −				=								(138)
x					t −		2		=	8							(138)
							2			8
Здесь у соответствующего однородного уравнения
&1		(t)− x		(1)		−	π										(139)
x		(t)− x			t	−	2	= 0									(139)
							2

также нет периодических решений. Постараемся искать частное периодическое решение

уравнения	(138). Частное решение уравнения (138) с правой частью	1	ищем в виде
		8
x(1)(t)= A , где A пока неизвестное число, а частное решение уравнения (138) с правой ча-
стью 1 cos 2t ищем в виде
8	(t)= B cos 2t +C sin 2t ,
x(1)	(t)= B cos 2t +C sin 2t ,		(140)

где В и С – пока неизвестные числа. После определения коэффициентов А,В,С известным методом неопределенных коэффициентов, мы получим

x(1)(t)= −	1	+	1	cos 2t +	1	sin 2t .	(141)
	8		40		20

Таким образом, с точностью до величины порядка ε							включительно, периодическое

решение	неоднородного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом
(128) имеет вид			1			1		1		1
	(1)	(t)= −
x				cost +ε	−		+		cos 2t +		sin 2t .	(142)
			2			8		40		20

IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ, ПОЯВЛЯЮЩЕМСЯ ПРИ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С УЧЕТОМ ВРЕМЕННОГО ЛАГА

ГЛАВА IV. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, появляющемся при решении некоторых экономических задач с учетом временного лага

4.1.Экономический цикл Колецкого. Дифференциальное уравнение

сзапаздывающим аргументом, описывающего изменение запаса наличного капитала

Рассмотрим простую модель экономического цикла Колецкого, которая основывается на основном законе экономическом баланса (национальный доход в основном рас-

пределяется на потребление, на накопление и на независимые расходы)
Y (t)= C Y (t)+ I (t)+ A(t),	(143)

где

Y (t) – национальный доход (выпуск продукции), I (t) – накопление (капиталовложение),

C – постоянный коэффициент,

C Y (t) – потребление (мультипликатор), A(t) – независимые расходы.

Известно, что для исследования экономических процессов в рамках модели Колецкого вводятся и другие величины, характеризующие данные процессы.

Основными из них являются:

K (t) – запас наличного основного капитала в момент времени t,

B(t)= dKdt(t) – инвестиции в момент времени t.

Отметим, что в реальности существует временной лаг τ > 0 между различными величинами, характеризующими экономический процесс, например между инвестициями и запасом и потреблением (величина инвестиций в момент времени t зависит от величины национального дохода в момент времени t и от запаса наличного капитала и потребления в момент времени t −τ ). С учетом временного лага имеем следующие зависимости между

введенными выше величинами

Y = 1I −+CA ,

	I (t)=	1	∫t B(t)dt ,	(144)
	dK (t)	τ	t−τ
			t−τ
		= B(t −τ).
	dt	= B(t −τ).
	dt
С помощью (144) из (143) нетрудно получить линейное однородное дифференци-

альное уравнение первого порядка с запаздывающим аргументом, описывающего изменение запаса наличного капитала K (t) от времени

	dK (t)	= aK (t)−bK (t −τ),	(145)
	dt

где 0 < a <1,		b > 0 – факторы,	определяющие объем капиталовложений. Очевидно, что
если найдем закон изменения			K (t), решая дифференциальное уравнение с запаздываю-

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.2015150.13 Кб32Дипломная работа Давлатмирова Амира.docx
#
30.03.2015156.14 Кб28Дипломная работа Давлатмирова Амира.docx
#
30.03.201548.3 Кб7Дипломная работа обязательно должна иметь.docx
#
01.03.202553.6 Кб0Дипломная работа по психодраме Василец.docx
#
25.11.2019420.86 Кб3Дискурс УМК.doc
#
13.03.2016481.44 Кб548Диф.ур-м с запазд.аргументом.pdf
#
01.05.2025214.53 Кб0ДКР матем В-35,36 3 к 1 с.doc
#
30.03.201581.87 Кб92ДКР №8-Линии и поверхности второго порядка.pdf
#
01.04.2025100.35 Кб0для Дани.doc
#
29.03.2015444.42 Кб28добрянский район.doc
#
01.05.202591.14 Кб0Довгяло_МетодРекомендацииВИГП_2013.doc