Физическая задача №9

Типичными уравнениями эллиптического типа являются уравнения Лапласа и Пуассона. В декартовых координатах уравнение Лапласа это равная нулю сумма вторых частных производных по трем координатам. Уравнение Пуассона отличается от уравнения Лапласа наличием в уравнении заданной функции координат. Впервые оператор Лапласа (сумма вторых частных производных) появился в работах Эйлера. Заслуга Лапласа состояла в том, что он показал, что потенциал поля тяготениявне масс удовлетворяет именно уравнению Лапласа. Математический смысл уравнения Лапласа – усреднение. Зная потенциал, можно вычислить компоненты сил по уравнению. Отметим, что Лаплас пытался выяснить - каким образом передается взаимодействие тел разделенных промежутком. Ответ на этот вопрос не получен до сих пор, но математически задача решена очень изящно. Потенциал в месте нахождения масс определяется уравнением Пуассона с заданием плотности. В определенных единицах это уравнение Пуассона может быть записано в виде

.

Таким образом, уравнение Лапласа и Пуассона могут описывать распределение потенциала гравитационного поля, электрического и магнитного полей. Кроме того, эти уравнения описывают стационарное распределение температуры.

Задание.Итерационным методом ПВР[2] (последовательная верхняя релаксация) решить конечно-разностные уравнения, соответствующие уравнению Пуассона в области единичного квадрата с однородными граничными условиями

u+f(x,y) = 0,u_Г=0 . (1)

f(x,y) = (i+1)(k+1)x(1-x)y(1-y) . (2)

Целые числа i,kв формуле (2) соответствуют номеру студента в списке (N=ik). Рекомендация – число узлов по каждой координате брать не более 40. Можно считать, что искомая функция – температура, а функцияпропорциональна внутренним источникам тепла.

Требования к защите.

1. Дать физическую интерпретацию постановке задачи.

2. Представить изолинии полученного решения (не менее трех изолиний).

3. Показать зависимость числа итераций, необходимых для того, чтобы максимальная невязка была менее 10^-5, от параметра верхней релаксации. Для выполнения этого пункта представить число итераций для трех значений параметра релаксации (одно из них равно оптимальному значению_= 2/(1+sin(h)).

4. Для максимального значения решения Um=maxu(x,y)получить уточненное значение по правилу Рунге-Ромберга, используя решение на трех сетках.

52