Лабораторная работа №16

1. С помощью явной схемы решить уравнение теплопроводности, где , , ,с точностью до 10^-4. Шаги по пространственной координате и времени: , .

Функция для каждого варианта приведена ниже.

2. С помощью неявной схемы решить уравнение теплопроводности, используя данные из предыдущего задания.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24. ,

25. ,

26. ,

27. ,

28. ,

29. ,

30. .

Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Данная задача состоит в том, что в некоторой области G (без границы) необходимо найти функцию , удовлетворяющую уравнению:

и граничному условию . Здесь, заданные функции.

Одно из основных свойств поставленной задачи  принцип максимума. Непрерывное и отличное от const решение может достигать своего максимума только на границе области.

Если заданная область  прямоугольник, то ,.

Вводится сетка с шагом по направлениюи с шагомпо направлению. Тогда,,,. Сетка содержит совокупность узлов. При переходе к конечным разностям уравнение принимает вид:

,

при ,. Граничные условия:

, при ,

, при .

Для удобства решения систему приводят к каноническому виду:

.

Из этого уравнения видно, что для того, чтобы найти ,необходимо знать четыре соседние точки.

В следующем примере рассмотрена задача Дирихле для уравнения Лапласа (). Исследуется квадратная полость ,. Пусть, тогда в области рассматривается 8 граничных точек (точки на углах не нужны) и четыре неизвестных (внутренних). Конечно-разностное уравнение Лапласа для квадратной области имеет вид:. Это система линейных уравнений для четырех неизвестных:

Если обозначить ,,,, то можно эту систему переписать как, где

, .

Очевидно, что полученную систему линейных уравнений можно решить методом итераций, или методом Зейделя.

Аналогично и конечно разностное уравнение Пуассона в каноническом виде представляет собой систему линейных уравнений, которую можно решать методом итераций, или методом Зейделя.

Сходимостью итерационных процессов для данной задачи можно управлять. Рассмотрим это на примере квадратной области. Для того чтобы вычислить значения функции на -й итерации, вначале вычисляется значение, затем оно уточняется по формуле. Параметропределяет скорость сходимости метода. метод Зейделя,  метод последовательной верхней релаксации,  метод последовательной нижней релаксации.

Итерации продолжаются, пока не будет достигнута точность  , т.е. пока не выполнится условие .

Лабораторная работа №17

Найти приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадратной области (квадрат АВСD) при ,. Шаг сетки, погрешность. Исследовать влияние параметраиз интервалас шагом 0,1 на сходимость итерационного процесса. Найти оптимальное значение. Ниже в таблице приведены функции, задающие искомую функцию на сторонах квадрата.

N	AB	BC	CD	FD
			0	0
		0	0
		20
	0
		40	40
			0
		20
				0
			0
				0
			30	30
	0			0
		20
			0
	40	40
			0
		25
				0
			0
				0

Уравнение колебаний. Рассматривается задача определенная на отрезке по пространственной координате, и напо временной. В этой области находится функция, удовлетворяющая уравнению:

, ,,

начальными условиями: ,при

и граничными условиями: ,при.

Здесь , , , , заданные функции.

После введения сетки {,,;,,} и перехода к конечным разностям получаем систему разностных уравнений:

, ,.

Решение на -ом шаге по времени выражается явным образом. Погрешность аппроксимации этой схемы. Она устойчива при.

, где

Граничные условия переписываются:

, при.

Для решения уравнения необходимо знать два первых временных слоя, которые выражаются из начальных условий.

, , для нахожденияиспользуется аппроксимация производной:, откуда.

Если аппроксимировать производную со вторым по  порядком точности, то получается формула: .